Points cocycliques

par **yos** » 13 Mai 2007, 15:02

Je vous propose l'exercice suivant :
ABC est un triangle, ABED,BCGF,ACHI sont des carrés extérieurs à ce triangle. Alors les six points D,E,F,G,H,I sont cocycliques si et seulement si ABC est équilatéral ou bien isocèle rectangle.

par **fahr451** » 13 Mai 2007, 18:33

bonsoir

avec les complexes "tout " se met en "équations " non ?

par **yos** » 13 Mai 2007, 19:32

C'est même la seule solution que j'ai trouvée : surmoche! Mon surmoi en prends un coup.

par **yos** » 14 Mai 2007, 20:34

Ce sujet n'a décidément aucun succès. Dommage. Si ça intéresse quelqu'un je mettrai ma solution avec les complexes.

par **fahr451** » 14 Mai 2007, 21:34

pas vrai yos j'ai été intéressé et même si ce n'est pas une solution géométrique ce n'est pas super moche les complexes

par **mt2sr** » 15 Mai 2007, 14:58

le sujet est intéressant j'ai pas pu trouvé une solution géométrique je ne sais pas si sa existe

par **becirj** » 28 Mai 2007, 09:41

Bonjour

Une solution mi-géométrique mi-trigonométrique

On démontre sans difficulté que si les 6 points sont cocycliques alors le centre du cercle passant par les 6 points est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

On utilise les relations métriques dans un triangle avec les notations classiques:

Donc

Après simplification, on passe à

Il reste à résoudre l'équation

, ce qui donne, compte tenu que B et C appartiennent à

On doit avoir de même

4 cas à envisager :1) B=C et A=B donc le triangle est équilatéral.
2)

triangle rectangle isocèle
3)

même chose triangle rectangle isocèle
4)

Au point de vue géométrique, la réciproque ne pose aucun problème.

par **yos** » 28 Mai 2007, 14:57

Trés bonne méthode Becirj (et content de te revoir sur ce forum).
L'égalité

peut se faire vite en passant tout de suite aux arcs doubles par les formules de linéarisation.

Points cocycliques

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