Le plus grand multiple de 19 ?

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Imod
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Le plus grand multiple de 19 ?

par Imod » 13 Aoû 2007, 00:22

Une petite énigme que l'on peut résoudre dès que l'on connait les congruences alors avis aux amateurs !!!

Un entier d'au moins quatre chiffres est dit complètement divisible par 19 si tout entier formé de quatre chiffres consécutifs de est divisible par 19 ( on ne considère pas les éventuels zéro au début de ) .
Par exemple tout entier de moins de quatre chiffres est complètement divisible par 19 . De même 4 047 505 est aussi complètement divisible par 19 car : 4 047 , 0 475 , 4 750 et 7 505 sont divisibles par 19 .

Existe-t-il un plus grand entier complètement divisible par 19 ? Si oui , quel est-il ?

Bon courage !!!

Imod



Joker62
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par Joker62 » 13 Aoû 2007, 05:22

Bon sans aucune justification !
Simplement en utilisant le Lemme de divisibilité par 19 qui dit que

Image est divisible par 19 si et seulement si Image est divisible par 19

En programmant un ptit truc en C pour éviter des tonnes de calcul, je trouve plusieurs nombres complétement divisibles par 19 dont le plus grand est :

741 045 605

7410, 4104, 1045, 456, 5605 sont bien divisibles par 19

Maintenant je ne sais guère si c'est ça, j'ai rien prouver du tout, mais bon !!!

Soit E, l'ensemble des nombres complétement divisible par 19.

Image
J'ai donc commencé par voir que ce nombre était inférieur à 1017, et que le plus proche multiple de 19 était donc 1007
Enfin bref, comme dit plus haut, j'ai strictement rien démontrer, j'ai même supposer que E possédait un élément maximal lol, donc voili voilou :)
J'ai quand même trouver un nombre plus grand que le tiens !!! naa ! :)

alben
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par alben » 13 Aoû 2007, 09:28

Bonjour,
On peut aussi remarquer que si on prend 5 chiffres abcde la condition pour que l'on ait abcd et bcde divisibles par 19 est que e-6a soit divisible par 19.
Cela limite les valeurs possibles pour a à 0,1,4,7 et celles de b correspondantes sont 0,6,5,4. Seuls 0 et 4 sont communs ...

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par Imod » 13 Aoû 2007, 10:51

alben a écrit:Bonjour,
On peut aussi remarquer que si on prend 5 chiffres abcde la condition pour que l'on ait abcd et bcde divisibles par 19 est que e-6a soit divisible par 19.
Cela limite les valeurs possibles pour a à 0,1,4,7 et celles de b correspondantes sont 0,6,5,4. Seuls 0 et 4 sont communs ...

C'est la bonne piste ...

Imod

emdro
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par emdro » 13 Aoû 2007, 14:26

Avec l'idée d'Alben, je propose: 771 444 655 (surligner) qui est un peu plus grand que celui de Joker (na!)

Imod
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par Imod » 13 Aoû 2007, 15:06

emdro a écrit:Avec l'idée d'Alben, je propose: 771 444 655 (surligner) qui est un peu plus grand que celui de Joker (na!)

C'est pas pour me vanter mais j'ai trouvé encore plus grand :karate:

Imod

emdro
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Enregistré le: 11 Avr 2007, 17:37

par emdro » 13 Aoû 2007, 15:10

77 714 446 555?

Imod
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par Imod » 13 Aoû 2007, 15:15

Nous avons la même chose :++:

Imod

emdro
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par emdro » 13 Aoû 2007, 15:18

Erreur de calcul tout à l'heure!:fan:

NB il n'était pas certain qu'il y ait un maximum...

Imod
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par Imod » 13 Aoû 2007, 15:21

emdro a écrit:Erreur de calcul tout à l'heure!:fan:

NB il n'était pas certain qu'il y ait un maximum...

C'est vrai qu'il ne faut pas choisir les nombres 19 et 4 au hazard .

Imod

 

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