Planche Cassée

[Vassillia]

Bonjour,
En attendant de finir le pont https://www.maths-forum.com/enigmes/pont-improvise-t234173.html , j'ai cassé une des planches assimilée à un segment en 4 morceaux (j'aurais du vous prévenir de ne pas me laisser bricoler toute seule )
Les cassures sont au hasard sur la longueur de la planche, indépendamment les unes des autres.

1) Quelle est la probabilité de réussir à construire un quadrilatère avec les 4 morceaux ?
2) Quelle est la probabilité de réussir à construire un triangle avec 3 morceaux au hasard ?
3) Quelle est la probabilité de réussir à construire un triangle avec 3 morceaux en les choisissant ?

PS : la question 3) est nettement plus difficile mais j'ai bon espoir que la méthode de calcul plaise à au moins une personne de ce forum.

[GaBuZoMeu]

Bon dimanche,

C'est presque la question 3 qui me semblerait la plus facile.

Je calcule la probabilité de ne pouvoir faire aucun triangle avec les quatre morceaux à notre disposition, et je trouve



Avec 6 morceaux je trouverais



Bien sûr, les déterminants valent 1, mais ils ne sont pas là uniquement pour fare joil : ils indiquent un peu la démarche. Je ne suis pas certain que ce que j'ai fait est correct, mais en tout cas pour 3 morceaux ça marche bien :

[Vassillia]

C'est à toi que je pensais pour cette question, je t'assure que pour moi, c'est nettement plus difficile, j'ai galéré avec des tétraèdres mais je sens que ta version va être mieux.

En tout cas je suis d'accord pour ton résultat concernant 3 et 4 morceaux, au delà je ne sais pas. Juste une petite coquille sur les valeurs numériques : parmi 4 morceaux, on trouve 3/7, c'est parmi 3 morceaux qu'on trouve 3/4 ce qui permet de conclure pour la question 2) d'ailleurs.

On va faire un deal si tu veux bien : je généralise faire un polygone avec morceaux et tu généralises faire un triangle en choisissant parmi morceaux. C'est toi qui a dit que c'était presque plus facile

Avec cassures dans la planche de longueur 1, on fabrique morceaux. On ne peut pas réussir à refaire un polygone avec tous ces morceaux si et seulement si un morceau est de longueur . Toutes les cassures seront donc réparties sur une distance et comme la distribution des cassures est uniforme et que les cassures sont indépendantes, cet événement a une probabilité .
Imaginons maintenant la planche et la suite de segments obtenue par les cassures, le segment trop long peut être le premier intervalle, ou le second... ou le dernier, il y a donc possibilités.
Au final la probabilité de pouvoir faire un polygone avec les morceaux est

[GaBuZoMeu]

Merci Vassilia d'avoir signalé la coquille. J'ai réparé.
Ce qui m'amuse c'est de voir apparaître la suite de Fibonacci.

[Vassillia]

Euh oui d'accord, je vois bien la suite de Fibonacci dans ta matrice mais tu ne voudrais pas expliquer pourquoi tu fais ce calcul ? Il me manque quand même quelques étapes pour que je comprenne ou alors j'ai loupé une évidence.

[GaBuZoMeu]

Si tu supposes que les morceaux sont rangés dans l'ordre des longueurs , les inégalités décrivant l'endroit où ça ne va pas sont
.
On voit Fibonacci rappliquer.
Les nombres 1,2,4,7,12,20,... sont les sommes des colonnes : les sommes des premiers nombres de Fibonacci.

[Vassillia]

Merci, je vois, je me suis compliquée la vie pour rien

[azf]

Merci Vassilia d'avoir signalé la coquille. J'ai réparé.
Ce qui m'amuse c'est de voir apparaître la suite de Fibonacci.

En ce qui me concerne je suis admiratif

Merci GaBuZoMeu