Pont improvisé

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Vassillia

Pont improvisé

par Vassillia » 26 Juil 2021, 21:23

Bonjour, comme vous semblez aimer les enchères et les dessins, je vous propose le défi suivant.

Je veux accéder à l'ilot central en noir qui est un carré de 100m de coté en partant d'un point sur la circonférence de la figure également en noir. Malheureusement, je dois traverser un fossé de largeur L avec de l'eau infesté de piranhas donc je ne peux y aller à la nage (je me retrouve toujours dans des situations impossibles :cry: )

Image

J'ai n planches de longueur 10m assimilées à des segments que je vais utiliser pour construire un pont.
Quelle est la distance L maximale que je peux franchir ? On peut considérer que le recouvrement nécessaire à chaque extrémité des planches pour la solidité du pont est assimilé à un point.

On cherchera d'abord pour n allant de 1 à 5 puis, si le cœur vous en dit, on pourra tenter une limite.
Bon courage et bon amusement j'espère



catamat
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Re: Pont improvisé

par catamat » 27 Juil 2021, 16:43

Bonjour

Bon on va essayer de pas se faire choper par les piranhas... :)

Pour n=1, L est au maximum égal à 10

Pour n=2

à l'aide du dessin ci dessous on trouve que la valeur maxi de L est soit un tout petit peu plus que 10,6 m.

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catamat
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Re: Pont improvisé

par catamat » 27 Juil 2021, 17:25

Pour n=3 je pensais à ceci :

Image

mais je n'ai pas fait le calcul, j'attends de savoir si c'est la bonne voie...

Vassillia

Re: Pont improvisé

par Vassillia » 27 Juil 2021, 19:39

Bonjour catamat,

Adjugé pour même si c'était pas le plus difficile et bravo pour qui était déjà nettement moins trivial.
Pour c'est l'idée mais rien n'oblige la première planche qui repose sur les bords de la figure à faire un joli triangle isocèle. Je sais, cela complique un peu (beaucoup) le calcul mais c'est le jeu :diable:

catamat
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Re: Pont improvisé

par catamat » 31 Juil 2021, 17:34

Bonjour, voilà ce que j'obtiens avec 3 planches :

Image

A, B et C sont les extrémités libres des trois panches.

Cela fait trois degrés de liberté (si la disposition est correcte) donc il faudrait rechercher le maximum d'une fonction à trois variables... même si Vassillia dit que c'est difficile je pense (j'espère) qu'il y a une astuce qui permet de simplifier un peu le calcul.

Personnellement j'a utilisé Geogebra.
Je peux déplacer les points A , B ou C (un seul à la fois) et j'ai obtenu le résultat de la figure ci-dessus.
Tout déplacement de l'un de ces trois points dans un sens ou dans l'autre (incrément 0.01) diminue la valeur de L affichée. Donc pour moi c'est une valeur approchée du maximum de L avec au moins 4 décimales correctes.

Mais bien sûr pas de valeur exacte à proposer...

Ps: les points rouges sont les milieux des planches

Vassillia

Re: Pont improvisé

par Vassillia » 01 Aoû 2021, 02:46

Je n'ai rien de miraculeux à proposer pour la résolution malheureusement, le plus rapide est surement de demander gentiment à un ordinateur de maximiser la fonction.

On peut aussi avoir une approximation avec géogebra, merci catamat pour ce résultat très pertinent et largement suffisant :D
Histoire de ne pas déprimer tout de suite, normalement on va finir par retomber sur une symétrie au bout d'un certain nombre de planches et la valeur exacte sera à nouveau accessible de manière raisonnable.
Bon week-end

GaBuZoMeu
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Re: Pont improvisé

par GaBuZoMeu » 04 Aoû 2021, 12:12

Une première étape ?

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Vassillia

Re: Pont improvisé

par Vassillia » 04 Aoû 2021, 14:17

Oui, très joli pour 5 planches.
On est largement au delà de la première étape déjà, si je te donne maintenant les planches 3 par 3, je pense que tu sauras quoi en faire.

Petit détail : il me semble que si les extrémités des planches mis en deuxième et en troisième ne se touchent pas, on peut gagner quelques dixièmes de millimètres sur la distance finale mais je ne vais pas chipoter, tu as l'idée.

GaBuZoMeu
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Re: Pont improvisé

par GaBuZoMeu » 04 Aoû 2021, 15:32

Tu sais Vassilia, sur GeoGebra on ne voit pas très bien la différence entre 0.4978 et 0.5.

Vassillia

Re: Pont improvisé

par Vassillia » 04 Aoû 2021, 16:10

Ah bon ben d'accord, pas de petit détail alors, j'aurai du me douter que tu y avais pensé.
Rien à dire si ce n'est qu'on compte sur toi pour finir le pont ;)

Vassillia

Re: Pont improvisé

par Vassillia » 06 Aoû 2021, 14:44

Alors quelques questions :
- Comment sont disposées les 3 planches supplémentaires entre le cas n=2 et le cas n=5 qui sont les cas symétriques ? Est-ce qu'il n'y aurait pas moyen de prolonger cette bonne idée ?
- Vous n'avez pas envie de calculer une série moche comme tout ? Je vous rassure moi non plus, quelle sera la configuration géométrique quand on ne pourra plus appliquer la bonne idée précédente ?

Si vous savez répondre à ces questions, la valeur exacte de la limite se trouve aisément avec très peu de connaissances mathématiques.

 

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