Un petit classique
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Un petit classique
par ffpower » 08 Nov 2008, 02:37
Peut etre a t il deja été posté.Soit a et b 2 entiers strictement positifs tel que pour tout n,a^n-1 divise b^n-1.Montrer que b est une puissance de a
par ThSQ » 08 Nov 2008, 12:34
Petit ? C'est un des exos les plus durs ... C'est un exo de l'AMM qui est, parait-il, resté irrésolu jusqu'à ce que le "proposer" donne une soluce surréaliste.
par Imod » 08 Nov 2008, 18:31
ThSQ a écrit:Petit ? C'est un des exos les plus durs ... C'est un exo de l'AMM qui est, parait-il, resté irrésolu jusqu'à ce que le "proposer" donne une soluce surréaliste.
Quelqu'un connait cette solution ?
Imod
par Zweig » 08 Nov 2008, 18:50
par ThSQ » 08 Nov 2008, 19:24
Ce n'est pas celle que j'avais lue. Celle d'AMM était basée sur une récurrence de polynômes. C'était hallucinant et à part que c'était introuvable je ne me souviens pas du truc (cf AMM ~2000 ou dans les environs).
par ffpower » 08 Nov 2008, 19:42
Ah bon ben ca a déja été posté donc.Bon ben je met ma methode mais qui dans l idee ressemble pas mal a la tienne Imod(je crois,j ai pas regardé en details,mais je veux dire on regarde la distance de rationnels aux entiers et ce qu il se passe qd elle tend vers 0)
On suppose que
.On a
^n+\left(\frac{b}{a^2} \right)^n+\cdots+\left(\frac{b}{a^p}\right)^n+o(1))
ou o(1)=terme qui tend vers 0
On a donc que^n+\left(\frac{b}{a^2} \right)^n+\cdots+\left(\frac{b}{a^p}\right)^n)
tend vers 0 modulo 1. 
est une suite réccurente linéaire d ordre p.On a )
en posant =c_0u_{n-p}+\cdots+c_pu_{n-1})
(les c_k étant les coeff du poly )
)
Maintenant si on écrit
avec 
entier,r_n tend vers 0,alors )
tend vers 0.Comme c est une suite a valeur dans un ensemble discret(les multiples de 1/q ou q est un denominateur commun aux c_k),on en déduit que )
pour n grand, et donc aussi que )
pour n grand.Donc pour n grand,
est de la forme ^n+\cdots+ \lambda_p\left(\frac{b}{a^p} \right)^n)
.Mais le fait que tende vers 0 implique que les 
sont tous nuls. est donc nul a partir d un certain rang,on conclut alors aisément..
On suppose que
ou o(1)=terme qui tend vers 0
On a donc que
Maintenant si on écrit
par Matt_01 » 08 Nov 2008, 23:35
Ouille ouille ^^
Par contre je n'ai pas très bien saisi la démonstration du lemme dans le document en anglais. Quelqu'un a de quoi m'éclairer ?
Soit il balance vite les conclusions, soit j'ai vraiment du mal ce soir !
Par contre je n'ai pas très bien saisi la démonstration du lemme dans le document en anglais. Quelqu'un a de quoi m'éclairer ?
Soit il balance vite les conclusions, soit j'ai vraiment du mal ce soir !
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