Un maître d'échecs

[aviateurpilot]

salut
Un maître d'échecs joue au moins une partie par jour, mais au plus dix parties par semaine. Montrer que, s'il joue assez longtemps, on peut trouver une série de jours consécutifs durant lesquels il a joué exactement 23 parties.

[aviateurpilot]

personne ne veut esquiser une reponse ?

[olivthill]

L:1, M:1, M:1, J:1, V:1, S:1, D:4, L:1, M:1, M:1, J:1, V:1, S:1, D:4, L:1, M:1, M:1 = 23 parties

M:1, M:1, J:1, V:1, S:1, D:4, L:1, M:1, M:1, J:1, V:1, S:1, D:4, L:1, M:1, M:1, J:1 = 23 parties

[BancH]

Il ne faut pas donner d'exemple, mais il faut prouver que c'est vrai pour n'importe quelles combinaisons.

[BancH]

Pour qu'il n'y ait pas de série de jours consécutifs durant lesquels il aurait joué 23 parties, en commençant à compter le lundi, alors chaque mercredi (sauf le premier) ainsi que chaque vendredi, il doit jouer plus d'une partie.
On a donc la combinaison suivante:

... 1121211 1121211 1121211 ...

avec une partie à répartir chaque semaine.

Si l'on commence à compter le nombre de parties jouées le jeudi, alors chaque samedi, il devra jouer au moins deux parties, mais comme il ne reste qu'une seule partie à répartir chaque semaine, il jouera donc 2 parties exactement.

On a alors la combinaison:
... 1121221 1121221 1121221...

Si l'on commence à compter le nombre de parties qu'il joue le mardi, alors il devra jouer plus de deux parties chaque mercredi ou plus d'une partie le jeudi, or on a déjà 10 parties par semaine, il y a donc forcément une série de jours consécutifs durant lesquels il aura joué 23 jours.

[aviateurpilot]

Pour qu'il n'y ait pas de série de jours consécutifs durant lesquels il aurait joué 23 jours, en commençant à compter le lundi, alors chaque mercredi (sauf le premier) ainsi que chaque vendredi, il doit jouer plus d'une partie.

:hein: :hein:

[scelerat]

salut
Un maître d'échecs joue au moins une partie par jour, mais au plus dix parties par semaine. Montrer que, s'il joue assez longtemps, on peut trouver une série de jours consécutifs durant lesquels il a joué exactement 23 parties.

Une semaine, sont-ce 7 jours consecutifs quelconques, ou seulement quand ca commence un lundi (ou un dimanche, pour suivre la tradition) ?

[aviateurpilot]

une série quelcoque de jours (14jours , 21jours , 13 jours .....) consécutifs durant lesquels il a joué exactement 23 parties.

[scelerat]

une série quelcoque de jours (14jours , 21jours , 13 jours .....) consécutifs durant lesquels il a joué exactement 23 parties.

Je pose ma question autrement : Si le maitre a joue 4 parties un samedi et une chacun des autres jours de la semaine, peut-il jouer 3 parties le lundi suivant parce que c'est une semaine differente, ou doit-il attendre le samedi suivant pour qu'il n'y ait pas 7 jours consecutifs avec plus de 10 parties ?

[aviateurpilot]

soit le nombre total de parties jouées jusqu'au jour i, on cherche i et j tels que

[aviateurpilot]

peut-il jouer 3 parties le lundi suivant parce que c'est une semaine differente,

oui il peut

[jbpeller]

Bonjour aviateurpilot,

Je pense avoir la réponse.

Un peu de formalisme d'abord :

Considérons la suite "P" telle que :
pour tout eniter i, P(i) es le nombre de parties jouées le jour i.
On notera également S(i)=P(1)+P(2)+...P(i), la somme des nombres de parties jouées jusqu'au jour i.
Par convention, S(0)=0.

D'après les hypothèses, on a :
(H1) : qqsoit i, P(i)>=1
(H2) : qqsoit i, S(i+7)-S(i)<=10

Il faut montrer que, quelque soit la suite P choisie, il existera toujours un couple (i,j) tel que S(j)-S(i)=23.



Tout d'abord, les hypothèses (H1) et (H2) permettent de montrer facilement que S(23), c-à-d la somme des nombres des parties jouées les 23 premiers jours, est situées entre 23 et 35.
En effet, qqsoit i, P(i)>=1 donc S(23)>=23.
De plus, d'après (H2), on a S(21)<=30 donc S(23)<=35 (pour ne pas que S(28) dépasse 40).
Cette première "fourchette" aura une importance cruciale pour la suite : on nommera ce résultat "(F1)"

Intéressons-nous à l'ensemble des 23 premiers éléments de la suite S(n) (donc les éléments de S(1) à S(23)).
On notera "E" cet élément.
On notara également "F" l'ensemble {0, 1,..22}, càd les entiers de 0 à 22.


Maintenant, on construit l'application "M" qui prend comme ensemble d'entrée "E" et comme ensemble image "F", et qui attribue pour tout élément de E sa valeur "modulo 23".
On a donc par définition : M(S(i)) = reste de la divison de S(i) par 23.

On a 2 possibilités :
1) Soit "0" a un antécédant dans "E", càd qu'il existe S(i) tel que M(S(i)) = 0 modulo 23.
Dans ce cas, étant donné "F1" (la fourchette), cela signifie que S(i)=23, et donc le problème est résolu.
2) soit il n'existe pas d'antécent dans E ayant "0" pour image par M. Dans ce cas, étant donné que card(E) = card(F) = 23, alors l'application M n'est ni surjective, ni injective.
En d'autres termes, il existe un couple (i,j) tel que M(S(i)) = M(S(j)).
Donc il existe (i,j) tel que S(j)-S(i) = 0 modulo 23.
D'après la fourchette "F1", on peut préciser que S(j)-S(i) = 23.


CQFD.

remarque : cette démo a pris les 23 premiers jours, mais on peut généraliser avec une suite quelconque de 23 jours, avec un formalisme un peu plus lourd.

remarque bis : en fait, ton enigme me fait penser à une autre enigme un peu plus générale : soit un E un ensemble de "n" entiers quelconques et distincts. Montrer qu'il existe un sous-ensemble F de E tel que la somme des éléments de F est multiple de n.