Le toutou qui court après son maître

[aviateur]

Je propose cette énigme qui me vient à l'esprit. Un chien voit son maître courir en ligne droite à une vitesse de 20km par heure. Le chien situé à une distance de 2km de son maître se met à le poursuivre avec une même vitesse. La direction suivie par le maître est perpendiculaire à la droite passant par les positions initiales des 2 protagonistes. Le chien court en suivant une trajectoire de sorte que son maître est constamment en face de lui.
Question. Est ce que la distance entre le maître et le chien est constante ?

[Ben314]

Salut,
Si la question est uniquement de savoir si la distance Chien-Maître est constante, alors la réponse est clairement "non" : un raisonnement "à la physicienne" (avec des infinitésimaux dx,dy et dt) permet de voir immédiatement que, à l'instant t=0, la distance Chien-Maître diminue à une vitesse de 20Km/h (le chien va droit vers le maître alors que le déplacement du Maître se fait suivant une direction qui est une tangente à un cercle centré sur le chien)

La question bien plus compliquée est de savoir quelle est la limite de la distance Chien-Maitre, lorsque t->+oo (sauf erreur, c'est la moitié de celle de départ donc ici c'est 1Km).

[nodgim]

Ce qui est étonnant, c'est que si le chien suit une trajectoire en ligne droite, il ne pourra jamais rattraper son maître, mais il pourra s'en rapprocher à une distance aussi courte que l'on veut.

[Black Jack]

Salut,

Problème maintes fois abordé.
Il est connu sous le nom "courbe du chien"

Il est traité par exemple ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_du_chien

[aviateur]

Oui je me doute bien que cela existe mais le hasard fait que j'ai pensé à un chien aussi.
Et je n'ai pas réfléchi à voir si c'était sur internet. Mais même si j'avais connaissance de ce lien, le but de poser des énigmes c'est d'essayer d'intéresser un max de personnes et à trouver la solution par soi même, j'aurai posé le problème tout de même.
Je ne pense qu'il fallait donner le lien pour tuer le problème.

J'avais ensuite l'intention de demander comment évolue la distance Maitre-Chien (donc la question de @ben)
et puis ensuite changer la vitesse du chien. Mais tout est donné sur le lien.
Je stoppe donc ici cette énigme à moins que je pense à une autre question non traitée sur internet.

Voici un peu plus détaillée (niveau lycée) la réponse de la question 1.

Pour fixer les choses on se donne un repère orthonormé
Oxy. Le maître que je nomme maintenant M est à l'instant t=0 en O=(0,0). Le chien que je note C
est en (0,2) (unité km)
Soit t un temps assez court et v la la vitesse commune.
M sera en et le chien approximativement en


Un calcul abordable donne la distance MC à l'instant :

D'où
Ce qui montre que la distance diminue.

Mais est-ce que cela veut dire que la chien va rattraper le maître?

[Ben314]

Visiblement, sur Wiki, ils ne donnent pas la limite de la distance Chien-Maître lorsque t->oo (dans le cas k=1 en reprenant leur notation). Mais à mon avis, il doivent la donner dans d'autres sites (pour tout ce qui est "courbes classiques", en général je vais sur "mathcurves" : y'a pas les preuves, mais il y a une liste quasi exhaustives des propriétés connues)

EDIT : Effectivement,
http://www.mathcurve.com/courbes2d/pour ... uite.shtml
il y a la réponse (sans la preuve) :
Lorsque k = 1, la distance entre le chien et le lièvre tend vers une constante, égale à c/2.

[nodgim]

@Aviateur, comme j'ai écrit tantôt, même si le chien court en ligne droite, il ne peut rattraper le maître qu'à l'infini, concrètement jamais. Comme la ligne droite est plus courte que la courbe.....

[nodgim]

Sinon, Aviateur, j'ai participé activement à un site d'énigmes mathématiques un temps (moins maintenant), et bien que je proposais toujours des énigmes ne venant d'aucun livre, juste de l'imagination, pour ce qui était des suites, il y avait souvent un intervenant qui avait vu cette énigme ailleurs, et aujourd'hui il est difficile de trouver quelque chose d'original qu'OEIS ne connaisse pas. C'était plutôt décourageant...

[aviateur]

Oui.
Donc on peut laisser cette question quelle la distance limite avec la preuve si possible?
Si on change une seule donnée: le chien court à 21km/h (on se doute qu'il va rattraper le maître) en combien de temps va -il le rattraper? J'ai pas réfléchi mais c'est peut être le même genre de travail.

[aviateur]

Oui @nogdim.
C'est évident ce que tu dis. Même les chercheurs, maintenant ils sont nombreux et la connaissance avance très vite. Alors dans leur labo, quand il se pose une question dans leur domaine, alors leur premier réflexe est de vérifier si le sujet n'est pas traité quelque part. Sinon ils risquent de passer un mois à rédiger un article qui sera automatiquement refusé parce que déjà publié ailleurs.

Ici concernant une énigme, bon c'est autre chose. Disons qu'on s'amuse. L'idée est aussi d'intéresser quelques jeunes têtes en herbe mais je pense aussi ceux qui ont plus d'expériences.

Par ailleurs rappelle toi que tu avais proposé une méthode (sans trop de démo et c'est pour cela que je ne comprenais pas bien) pour une énigme posé par quelqu'un.
Vu la difficulté j'avais réussi à trouver une publi de 1965 où une méthode quasi semblable avait était décrite.

Peut être qu'il ne reste que la conjecture de Syracuse à poser?

[beagle]

d'accord , mais c'est vrai aussi si c'est un beagle ?

[Ben314]

. . . alors leur premier réflexe est de vérifier si le sujet n'est pas traité quelque part. Sinon ils risquent de passer un mois à rédiger un article qui sera automatiquement refusé parce que déjà publié ailleurs.

Pas si sûr : je garde un sacré souvenir d'avoir lu y a un peu plus de 10 ans un article (dans une revue... pas terrible certes..., mais quand même) d'un type qui redémontrait un résultat connu depuis plus de 50 ans (*) sachant que :
- Il ne (re)démontrait même pas le dixième de ce qui est connu sur la question.
- Son argumentaire était irrémédiablement faux dés la 10em ligne de son papier de 4 pages.

J'ai (très vaguement) cherché à savoir si ça avait été relu par quelqu'un mais j'ai pas su... (pas super cherché non plus : j'ai autre chose à f...)

(*) Concernant justement la façon dont on peut "suivre" les racines d'un polynômes à coefficients variable dont on parlait il y a peu sur le forum : le gars, il attaquait bourinnement en rangeant les racines du polynômes dans l'ordre lexicographique et bien évidement 5 lignes plus loin il utilisait naïvement une propriété de compatibilité que cette relation d'ordre ne possède pas...

[Black Jack]

"Je ne pense qu'il fallait donner le lien pour tuer le problème. "

Cela ne tue absolument pas le problème.

Celui qui le désire peut toujours essayer de résoudre le problème sans consulter le lien ...

Et celui qui veut vérifier ce qu'il trouve ou bien ne s'en sort pas et désire approfondir peut alors consulter le lien... quitte encore à essayer de poursuivre pour répondre à des aspects non abordés directement par le lien.

[nodgim]

Oui.
Donc on peut laisser cette question quelle la distance limite avec la preuve si possible?
Si on change une seule donnée: le chien court à 21km/h (on se doute qu'il va rattraper le maître) en combien de temps va -il le rattraper? J'ai pas réfléchi mais c'est peut être le même genre de travail.

Cas typique du missile lancé contre un avion. J'avais fait ça un temps, je ne me souviens plus bien du résultat, mais je crois qu'il y avait le " e " qui intervenait dans cette histoire.

[aviateur]

Pas si sûr

Exactement concernant les publications tout n'est pas très clair. En effet la somme des connaissances est en constante augmentation et c'est pas toujours facile de savoir pour un rapporteur si le résultat existe déjà.

[Black Jack]

Oui.
Donc on peut laisser cette question quelle la distance limite avec la preuve si possible?
Si on change une seule donnée: le chien court à 21km/h (on se doute qu'il va rattraper le maître) en combien de temps va -il le rattraper? J'ai pas réfléchi mais c'est peut être le même genre de travail.

Cas typique du missile lancé contre un avion. J'avais fait ça un temps, je ne me souviens plus bien du résultat, mais je crois qu'il y avait le " e " qui intervenait dans cette histoire.

Salut,

Avec do la distance initiale entre le maître et le chien, Vc la vitesse du chien et Vm la vitesse du maître, on trouve que le chien rattrape le maître après une durée de course t = do * Vc/(Vc² - Vm²)

A cet instant, la distance parcourue par le maître est Dm = do * Vc.Vm/(Vc² - Vm²) et la distance parcourue par le chien est : Dc = do * Vc²/(Vc² - Vm²)

Uniquement valable évidemment si Vc > Vm

On peut exprimer ces grandeurs en fonction du rapport k = Vc/Vm (> 1), on a alors :

t = do * k/((k²-1)*Vm)
Dm = do * k/(k²-1)
Dc = do * k²/(k²-1)

Le cas k = 1 est autrement plus ardu à traiter.

[aviateur]

Bonjour
Je ne trouve pas que le cas k=1 (c'est à dire le chien et court à la même vitesse que le maître) est plus difficile puisque c'est la même démarche. Ce qui change c'est l'équation différentielle vérifiée par la trajectoire du chien est différente.
En effet avec le repère que j'avais proposé C est en (0,b) le maître est en (0,0) est court à la vitesse v selon OX . Si on désigne par x=f(y) l'équation de la trajectoire on trouve que l'équadiff est :

La résolution avec cas k=1 donne en tenant compte des données initiales (f(b)=f'(b)=0) donne



Pour y\in (0, b) la longueur parcourue par le chien (et donc par le maître est


Donc quand le chien est en (f(y),y) le maître est en (L(y),0). Le calcul de la distance MC est facile est donne
Donc quand t tend vers l'infini (i;e y tend vers 0) la distance tend vers
b/2 : on retrouve bien la distance annoncée par @ben.

[aviateur]

L'énigme n'est pas terminée. J'ajoute cette question (dont je n'ai pas encore réfléchi à la réponse):

Quand le chien court plus vite que le maître on sait qu'il va le rattraper. Mais la trajectoire suivie par le chien est-elle la meilleure? C'est à dire cette trajectoire est-elle celle qui minimise le temps que met le chien pour rattraper le maître?

[Ben314]

Là, c'est clair que non : le chien à évidement intérêt à faire un calcul pour savoir quel est l'endroit où il rejoindra "pile poil" le maître en y allant en ligne droite (vu que si son trajet "optimum" était autre chose qu'une ligne droite, ben il pourrait arriver exactement au même endroit final en moins de temps en y allant en ligne droite)

Et d'ailleurs, je me posais la question à propos des missiles (c.f. post de nodgim) de savoir si leur "logiciel embarqué" les incitait à viser autre chose que l'avion (à dégommer) lui même.
Je pense que oui (i.e. le missile essaye d'anticiper sur la position de l'avion) , mais sans doute pas trop "à l'avance" vu que le mec dans l'avion, le fait d'avoir un missile au cul, ça risque un tout petit peu de l'inciter à faire autre chose que de garder une bête trajectoire rectiligne uniforme...