Les Génies par ici

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
kev2000
Messages: 1
Enregistré le: 08 Avr 2021, 22:26

Les Génies par ici

par kev2000 » 08 Avr 2021, 22:36

Bonsoir à tous,
je vous écris car ma petite sœur vient de me poser une colle. :oops:
Je sais que certains sont brillants parmi vous c'est pourquoi je vais vous poser la question ;)

Elle m'a demandé "combien de manière existe-il de former 105 en additionnant 5 nombres compris entre 1 et 56 sans répéter 2 fois le même nombre" :geek:

Par exemple 1+35+48+16+5 =105 ou encore 1+36+47+18+3=105
Si vous trouvez la réponse merci d'écrire le raisonnement
Merci d'avance



LB2
Habitué(e)
Messages: 1504
Enregistré le: 05 Nov 2017, 18:32

Re: Les Génies par ici

par LB2 » 08 Avr 2021, 23:27

Bonsoir,

cela revient à chercher le nombre de façons de répartir 105 objets identiques dans 5 boites numérotées, sans qu'aucune boite ne soit vide ou dépasse 56 objets.

On peut le calculer "à la main" sous forme de sommes imbriquées (avec 4 indices).

Sinon, on peut le faire avec le raisonnement suivant :

le problème sans la contrainte qu'aucune boite ne soit vide ou dépasse 56 objets est connu sous le nom de "stars and bars" dans la littérature : il y a 4 parmi 109 = 5563251 façons de répartir 105 objets dans 5 boites numérotées. Voir par exemple http://villemin.gerard.free.fr/Denombre ... alle01.htm

En rajoutant la contrainte, il s'agit de compter les répartitions sans boite vide, puis de retirer le nombre de façons de répartir avec au moins une boite qui dépasse 56 objets (dans ce cas, il y en nécessairement qu'une seule, puisque 56+56 >105).

Nombre de façons de répartir sans boite vide = on commence par répartir un objet dans chaque boite et on résout le problème précédent avec 100 objets dans 5 boites => 4 parmi 104 = 4598126 façons de répartir 105 objets dans 5 boites numérotées sans boite vide.

Il faut désormais retirer de ces 4598126 façons toutes celles pour lesquelles l'une des boites (exactement) dépasse 56 objets.

Exercice : Combien y a t il de telles façons avec la boite 1 qui dépasse 56 objets ?
Solution : regarde "stars and bars with upper constraint" sur math stack exchange par exemple

lyceen95
Membre Irrationnel
Messages: 1033
Enregistré le: 15 Juin 2019, 01:42

Re: Les Génies par ici

par lyceen95 » 08 Avr 2021, 23:37

Commençons par les 2 solutions que tu as proposées :
1+35+48+16+5 =105 ou encore 1+36+47+18+3=105
Ecris-les : 1+5+16+35+48 ou 1+3+18+36+47 ; ça te donne un début de début de méthode.

 

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