Inégalité sympa

[MMu]

Soient nombres complexes tels que
Montrer que

[Ben314]

(avec égalité ssi et sont colinéaires <=> est un des deux orthogonaux de dans la plan )

[MMu]

Ok En poussant un peu plus loin vers les fonctions intégrables on arrive à :

Do you agréé ?

[Ben314]

Il me semble bien que oui : en divisant f et g par leur norme (L_2) on retombe sur la même chose que précédemment avec L_2([0,1]) à la place de R^n.
Il faut juste mettre les bonnes hypothèses pour que tout existe (et que les dénominateurs soient non nuls).

En fait, en faisant la même chose (décomposer f et g suivant vec(h) et son orthogonal) on obtient la formule suivante (valable sans hypothèses dans tout préhilbertien) :

(avec égalité ssi les trois vecteurs sont dans un même plan)
Et si on suppose , ça donne

[MMu]

[Ben314]

En fait, si on suppose les trois vecteurs unitaires (ce qui ne change rien sur le principe), on a ça :

Y-a-t-il une formule plus générale avec vecteurs telle que celle là corresponde au cas ?

[Ben314]

La réponse est "oui" est c'est (archi)-connu.
Si tu as 3 vecteurs unitaires de (*) et que tu pose = la matrice 3x3 formée (en colonne) des coordonnées des 3 vecteurs (dans une b.o.n.) alors où sont les produits scalaires des 3 vecteurs pris 2 à 2.
Et la matrice et non seulement symétrique, mais bien évidement elle est aussi positive donc son déterminant est positif ce qui donne précisément la formule du post précédent (et sans supposer les vecteurs unitaire, ben c'est la formule du post encore précédent).
Et bien sur, ça se généralise avec un nombre quelconque de vecteurs et l'inégalité est une égalité ssi c'est à dire ssi la famille de vecteurs est liée.

(*) Et ça ne coûte rien de les supposer dans vu qu'à eux 3 ils engendrent un s.e.v. au max de dim. 3.

[Ben314]

Et ça permet de rédiger la solution de ton exercice de départ de façon plus directe :