Factorielle modulo nombre premier

[nodjim]

Bonsoir à tous.
Un constat énigmatique:
(p-1)!=-1 modulo p, p premier (et donc, en corollaire: (p-2)!=1 modulo p).
Je ne connais pas et ne trouve pas d'explication.
Quelqu'un connait ?

[Nightmare]

Salut,

une explication simple est de réunir dans le produit 1*2*...*(p-1) tous les produits qui font 1 (modulo p bien sûr). Comme p est premier, n'importe quel entier dans [1,p-1] admet un inverse et seul 1 et p-1 sont leur propre inverse.

[Ben314]

Deuxième solution (tout aussi classique) :
K=Z/pZ est un corps et le petit théorème de fermat nous dit que le polynôme X^(p-1)-1 de K[X] a pour racine tout les éléments non nul de K.
Comme il est unitaire, on a X^(p-1)-1=(X+1)(X+2)...(X+(p-1)) et l'évaluation du terme constant donne la bonne formule.

[Zweig]

Je ne connais pas et ne trouve pas d'explication. Quelqu'un connait ?

Ce résultat porte le nom de théorème de Wilson : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Wilson

[nodjim]

D'accord, merci.
En fait, j'avais déja vu ça, et c'est facile à montrer. Milles excuses pour cette sotte question.