Factorielle et nombre de 0

[Thiéfaine]

Bonjour,



Comme vous pouvez le voir, cette question est plutôt simple.

En écrivant quelques facteurs je remarque les couples 2 + 10n et 5 + 10n (n naturel) qui ajoute un zéro, et les multiples de 10, évidemment.
Je ne vois rien d'autre et suppose donc que le pattern continue ainsi, ce qui nous fait que les 20 zéros sont atteint à 100!.

Vu que k = 33 est en-dessous, je suppose k = 34.
Mais comme vous pouvez l'imaginer, je me trompe quelque part...

[lyceen95]

Indice :
99! a un certain nombre de zéros, disons z.
Et 100! , il en a combien ?

Attention, c'est un indice, mais c'est aussi un piège.

Edit : tu parles des 2+10n ??? Je suppose que ce sont les 10n et les 10n+5.

[Thiéfaine]

D'accord effectivement, ça nous donnerais z + 2 zéros (21 avec mon raisonnement), donc il y a autre chose..

Je n'ai peut être pas été assez clair..
Je parle des couples : 2*5; 12*15; 22*25, qui ajoutent un zéro.

[lyceen95]

100 ajoute 2 zéros, ok.
Les couples 2x5, 12x15, 22x25 ??? et 20, il n'est pas dans cette liste, alors qu'il ajoute un zéro.

Edit : tu disais qu'il y a les multiples de 10 également, donc 20 est bien dans ta liste.

C'est plus simple que ça.

Prend un nombre comme 7! par exemple. Décompose-le en facteur premiers. Pareil pour 17! ou 46! ou 95! ou ...
Et ensuite, pour simplifier/avancer, regarde dans cette décomposition uniquement les facteurs qui 'jouent'.

[Thiéfaine]

Avant de partir dans un calcul sans fin de décomposition en facteur premier, n'y aurait t il pas une règle/méthode/formule adaptée aux factorielles ?

[lyceen95]

Tu peux calculer , ça vaut , et ensuite décomposer en facteurs premiers.
Mais évidemment, c'est la pire des méthodes.

Je te laisse trouver les valeurs manquantes, c'est indispensable pour que tu assimiles la mécanique.
Calcule la même chose, en détaillant la méthode, pour 8!
Quand on parle factorielle, on pense 'récurrence', même si ici, on ne va pas entrer dans une démonstration par récurrence très formelle.

[Thiéfaine]

pour 8! on multiplie par 8 par rapport à 7! ()

[lyceen95]

Oui, mais continue...
Allez, je spoile, mais je pense que tu ne devrais pas lire tout ça.
avec un truc dont on se moque.
avec un truc dont on se moque.
Et même :
avec un truc dont on se moque.
avec un truc dont on se moque.

Dans n!, dans sa décomposition en facteurs premiers , on a 2, avec un exposant très grand, on a 5, avec un exposant qui nous intéresse bigrement, et on a le reste, dont on se moque.

Et au final, le nombre de zéros dans l'écriture de n!, c'est l'exposant de 5 dans cette décomposition en facteurs premiers.

Question suivante : quels sont les nombres qui 'amènent' un nouveau facteur 5. Quels sont les nombres qui amènent 2 nouveaux facteurs 5 (comme 100 par exemple) etc

[Thiéfaine]

OK effectivement merci..
Les facteurs qui augmentent la puissance de 5 sont les multiples de 5 .
5! -> 1 zéro
...
20! -> 4 zéros
25! -> 6 zéros (car 25 = 5*5)
...
45! - > 10 zéros
50! -> 12 zéros (car 50 = 5*5*2)
...
70! -> 16 zéros
75! -> 18 zéros (car 75 = 5*5*3)
...
85! -> 20 zéros

Donc pour (3k)! ayant 20 zéros, k = 29, le plus petit supérieur 85.

Merci

J'espère que ça ne dérange pas que je poste beaucoup de questions, je suis en train de faire pas mal de questions d'olympiades pour me former...

[mathelot]

Bonsoir,
on pose la partie entière de x

Il y a multiples de 5 inférieurs ou égaux à n..

Les multiples de 25 doivent être comptés deux fois, on les rajoute.
Les multiples de 125 doivent être comptés trois fois, on les rajoute.

Finalement , on obtient;

Le nombre de zéros de n! vaut



Dans la somme , tous les termes sont nuls, sauf un nombre fini.

Exemple: 1000! a 2568 chiffres et se termine par 249 zéros.

[Thiéfaine]

Merci, c'est ce qu'il me fallait

ps: inutile mais marrant, tu t'es inscrit 6 mois avant ma naissance, incroyable

[lyceen95]

Il y a un mot qui tourne autour de ces notions : valuation p-adique.
Valuation 5-adique de n = quel est l'exposant de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de n.
( parce que 5 est premier ; si on parle de la valuation 10-adique ( c'est notre problème), c'est un peu différent.