Exo arithmétique sympa :)

[BiZi]

Bonjour,
Un petit exo pour occupe les grandes vacances:

Montrer que pour tout il existe n entiers naturels consécutifs qui ne sont pas des puissances entières d'un nombre premier.

Bon courage!

[emdro]

Bonjour,

Soit N=(2n)!+2

N=2*3*...*(2n)+2=2*[3*...*(2n)+1].
Si N était une puissance d'un nombre premier ce serait 2 (puisque 2 divise N).
Or 2 divisant 3*...*(2n), il ne divise pas 3*...*(2n)+1. C'est absurde

N+1=2*3*...*(2n)+3=3*[2*4*5...*(2n)+1]
Si N+1 était une puissance d'un nombre premier ce serait 3 (3 divise N).
Or dès que n>2, 3 divise 2*4*...*(2n), il ne divise donc pas 2*4...*(2n)+1. C'est absurde.

N+2=2*3*4...*(2n)+4=4*[2*3*5...*(2n)+1]
Si N+2 était une puissance d'un nombre premier ce serait 2.
Or 2 divise 2*3*5...*(2n), il ne divise donc pas 2*3*5*...*(2n)+1. C'est absurde.

Etc.

N+(n-2)=2*3*...*(n-1)*n*(n+1)*...*(2n)+n=n*[2*3*...*(n-1)*(n+1)*...*(2n)+1].
Si n est composé, c'est réglé.
Si au contraire n est la puissance d'un nombre premier p, p ou l'un de ses mutiples se retrouve dans 2*3*...*(n-1)*(n+1)*...*(2n). donc p ne divise pas le crochet: N+(n-2) n'est pas une puissance de nombre premier.

les n-1 nombres consécutifs N, N+1,..., N+(n-2) ne comptent pas de puissance de nombre premier parmi eux.

C'est vrai pour n-1, et de la même manière c'est vrai pour n.

[BiZi]

Bonjour,

Soit N=(2n)!+2

N=2*3*...*(2n)+2=2*[3*...*(2n)+1].
Si N était une puissance d'un nombre premier ce serait 2 (puisque 2 divise N).
Or 2 divisant 3*...*(2n), il ne divise pas 3*...*(2n)+1. C'est absurde

N+1=2*3*...*(2n)+3=3*[2*4*5...*(2n)+1]
Si N+1 était une puissance d'un nombre premier ce serait 3 (3 divise N).
Or dès que n>2, 3 divise 2*4*...*(2n), il ne divise donc pas 2*4...*(2n)+1. C'est absurde.

N+2=2*3*4...*(2n)+4=4*[2*3*5...*(2n)+1]
Si N+2 était une puissance d'un nombre premier ce serait 2.
Or 2 divise 2*3*5...*(2n), il ne divise donc pas 2*3*5*...*(2n)+1. C'est absurde.

Etc.

N+(n-2)=2*3*...*(n-1)*n*(n+1)*...*(2n)+n=n*[2*3*...*(n-1)*(n+1)*...*(2n)+1].
Si n est composé, c'est réglé.
Si au contraire n est la puissance d'un nombre premier p, p ou l'un de ses mutiples se retrouve dans 2*3*...*(n-1)*(n+1)*...*(2n). donc p ne divise pas le crochet: N+(n-2) n'est pas une puissance de nombre premier.

les n-1 nombres consécutifs N, N+1,..., N+(n-2) ne comptent pas de puissance de nombre premier parmi eux.

C'est vrai pour n-1, et de la même manière c'est vrai pour n.

Ca me semble correct, si quelqu'un d'autre peut confirmer pour être sûr... Bien joué!
Ta démonstration montre également je crois qu'on peut trouver des suites d'entiers consécutifs non premiers de taille arbitraire.

[emdro]

Ta démonstration montre également je crois qu'on peut trouver des suites d'entiers consécutifs non premiers de taille arbitraire.

C'est même cette idée qui a guidé mes pas, et m'a conduit à la solution en adaptant un peu.

[yos]

Belle variante du résultat classique sur les runs de non-premiers consécutifs. J'avais pas compris tout de suite l'intérêt du 2n. C'est bien vu.
Tu avais une autre preuve Bizi?

[emdro]

Merci Yos,

J'en rougis... :happy:

[BiZi]

Belle variante du résultat classique sur les runs de non-premiers consécutifs. J'avais pas compris tout de suite l'intérêt du 2n. C'est bien vu.
Tu avais une autre preuve Bizi?

Non, j'avoue que j'avais séché lamentablement :briques: