Existence de la limite

[acoustica]

Bonjour!
Un exo qui peut se résoudre de plein de façons différentes (parait-il... j'en ai qu'une à proposer):

Soit une suite bornée vérifiant:


Montrer que converge.


PS: on voit bien le fait que 1/3+2/3=1 a un rôle à jouer. En fait, on peut écrire p et q à la place de 1/3 et 2/3, avec p+q=1. Le cas général est donc:
Soit une suite bornée vérifiant:
avec p+q=1. Montrer que la suite converge.

[ThSQ]

l = lim inf (> -oo bicose bornée)
L = lim sup (< +oo, id)

Si ne converge pas l < L et on prend A et B réels tels que l < A < L < B

On alors trouver n tel que et
Et donc .

Mézalor et pareil pour ()

Donc mais on peut trouver A et B tels que ceci soit faux (prendre A et B assez près de l et L), contradiction.

[acoustica]

l = lim inf (> -oo bicose bornée)
L = lim sup (< +oo, id)

Si ne converge pas l < L et on prend A et B réels tels que l < A < L < B

On alors trouver n tel que et
Et donc .

Mézalor et pareil pour ()

Donc mais on peut trouver A et B tels que ceci soit faux (prendre A et B assez près de l et L), contradiction.

Quand je parlais de plusieurs méthodes :++:

On peut aussi considérer la suite vn=u(n+1)+(2/3)un. Elle est décroissante et minorée, donc elle converge vers une limite nommée l. Si un converge, alors c'est vers (3/5)*l. On bidouille un-(3/5)*l;)pour avoir ce qu'on cherche.

[ThSQ]

Quand je parlais de plusieurs méthodes

La tienne est plus simple !

:chaise:

[ThSQ]

Tiens d'ailleurs je n'ai utilisé que le fait que lim sup < +oo ce qui est vrai pour toute suite vu que .

L"hypothèse bornée est en trop !

[acoustica]

La tienne est plus simple !

:chaise:

[CENTER] :langue2: [/CENTER]





.

[acoustica]

Tiens d'ailleurs je n'ai utilisé que le fait que lim sup < +oo ce qui est vrai pour toute suite vu que .

L"hypothèse bornée est en trop !

Et au tout début de ta démo? Non je crois que tu as bien utilisé le fait que la suite est bornée.

[ThSQ]

Et au tout début de ta démo? Non je crois que tu as bien utilisé le fait que la suite est bornée.

Je crois pas le fait qu'elle est majorée suffit dans ma démo et c'est une conséquence des hypothèses.

[ffpower]

u(n)=-n ^^

Sinon,comment faire si on a avec p+q+r=1(et u_n bornée bien sur :langue: )

[acoustica]

u(n)=-n ^^

Sinon,comment faire si on a avec p+q+r=1(et u_n bornée bien sur :langue: )

On rajoute (q+r)u(n+2)+r*u(n+1) des deux côtés de l'inégalité.
Ca se généralise. :id:

[ffpower]

En effet lol,bien koué :++: .Bon bah je propose le prob suivant alors:que dire si cette fois on a :we:

[acoustica]

En effet lol,bien koué :++: .Bon bah je propose le prob suivant alors:que dire si cette fois on a :we:

Je suppose que on a là encore (un) bornée?

Il y a du Cesaro dans l'air... :k2k:

[ThSQ]

u(n)=-n ^^

:briques: .

[acoustica]

En effet lol,bien koué :++: .Bon bah je propose le prob suivant alors:que dire si cette fois on a :we:

Après des lignes de calculs barbares, le seul truc auxquel j'aboutisse est:
u(n+1) <= (n+1)/n * uo


Mais ça sert à rien


re- :briques:

[Doraki]

Soit x,y,z 3 vos 3 nombres réels favoris avec x
Je définis la suite un par :
u1 = z.
un+1 = vn si (u1+...+un+x)/(n+1) <= y,
= x sinon.

La suite des moyennes décroit et converge vers y, mais la suite un ne converge jamais vers y.
Et un est bornée par x et z.

[ThSQ]

Oui ça marche pas mais on peut se demander quelle condition (non trivialisante, style décroissante ...) on pourrait ajouter pour que ça marche ...


Un autre exemple de suite qui met en défaut le truc :

si n < 20
si n n'est pas un carré