Existence d'une suite
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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aviateur
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par aviateur » 27 Oct 2017, 15:15
Bonjour
Existe-t-il une suite de réels
telle que chaque polynôme
admette exactement n racines réelles?
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nodgim
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par nodgim » 27 Oct 2017, 15:35
Si tu écris le polynôme sous la forme :
(x-a1)(x-a2)(x-a3)..... ?
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aviateur
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par aviateur » 27 Oct 2017, 16:45
Bonjour
@Nogdim, pourquoi pas, mais ton idée ne répond pas à la question car chaque polynôme de degré n que tu proposes(nommons le p_n) ne mène pas à la solution car à chaque fois les coordonnées dans la base canonique change. Pour être plus clair il suffit de voir que le terme constant de chaque p_n est le même et ce n'est pas le cas pour toi.
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nodgim
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par nodgim » 27 Oct 2017, 17:09
Juste. C'est plus compliqué.
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Ben314
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par Ben314 » 27 Oct 2017, 17:51
Salut,
La réponse est oui et il y a deux preuves (essentiellement différentes) possibles :
(1)
Théorique, plus général et très facile : on montre qu'étant donné un polynôme
quelconque de degré
ayant
racine le polynôme
aura
racines pour toute valeur (non nulle) de
suffisamment proche de zéro.
(2)
Plus compliqué (et moins général) On donne une suite
explicite de
et on montre qu'avec cette suite là, ça marche (j'ai pas d'exemple en tête avec une preuve
simple)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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nodgim
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par nodgim » 27 Oct 2017, 18:01
C'est vrai que sur plan ça marche bien: on ajoute un polynôme an*x^n avec un faible "an" pour garder les racines existantes à peu près à l'endroit où elles sont, la racine supplémentaire venant d'elle même.
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aviateur
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par aviateur » 28 Oct 2017, 10:53
Bonjour
Tout à fait d'accord avec ta réponse 1 @ben.
Pour la 2. je ne trouve pas d'exemple explicite.
Comme il y a des solutions, pour l'une quelconque d'entre elles, on peut poser
et supposer que le rayon de convergence est infini.
Puis éventuellement trouver un bon candidat f(x) ...?
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