Exercice

[globule rouge]

Hello

Voici un joli exercice que j'ai pris d'un autre forum :

Existe-t-il deux fonctions f et g de dans telles que et ?

Je n'ai pas encore la réponse mais je n'ai pas résisté à la tentation de vous le proposer.
Voilà, bonne chance !

Julie

[Imod]

C'est un classique :zen:

Tu peux déjà remarquer que est injective et que .

Imod

[M@thIsTheBest]

Existe-t-il deux fonctions f et g..... ?

C'est immédiat !
soit les deux fonctions f et g tq Sinon, si cette solution ne te satisfait pas, tu peux résoudre le système pour voir s'il existe d'autres solutions(mais je vois que c'est inutile car la question est :Existe-t-il deux fonctions f et g; donc une solution suffit) :zen:.

[Zweig]

Va falloir que tu m'expliques comment la composée de deux fonctions nulles peut donner x² ou x^3.

Sinon, faut montrer qu'il n'existe aucune solution

[M@thIsTheBest]

Hello

Voici un joli exercice que j'ai pris d'un autre forum :


Je n'ai pas encore la réponse mais je n'ai pas résisté à la tentation de vous le proposer.
Voilà, bonne chance !

Julie

Bon, si tu passes par tu aura un sous système tq mais, je pense que les solutions apparentes de ce sous système(les fonctions constantes..) ne remplissent pas le système de départ, donc Il n'existe pas de solution pour ce système...mais il faut détailler la démonstration: à vous de continuer.. :zen:

[Zweig]

Bah les fonctions constantes sont, par exemple, clairement solution. Sauf qu'Imod a souligné un point important : doit être injective. Ce qui permet de montrer qu'il n'existe aucune solution à l'équation , donc au système originel.

[globule rouge]

D'accord, et qu'est-ce qui montre que f est clairement injective ?

[Dlzlogic]

J'ai pas très bien compris ce qu'apporte votre intervention par rapport à celle d'Imod.
C'est la suppression d'une paire parenthèses qui éclaircit le problème ?

[M@thIsTheBest]

Bah les fonctions constantes sont, par exemple, clairement solution. Sauf qu'Imod a souligné un point important : doit être injective. Ce qui permet de montrer qu'il n'existe aucune solution à l'équation , donc au système originel.

Bah, c'est ce que j'ai voulu dire. En effet dans il n'existe aucune solution.

[Zweig]

Dlzlogic > Je répondais à M@thIsTheBest

Globule rouge > On veut montrer injective injective. On veut donc montrer que (définition de l'injectivité).

Supposons injective. Soient et vérifiant . Alors [CENTER][/CENTER]
Comme est injective, .

Donc : est injective.

[M@thIsTheBest]

J'ai pas très bien compris ce qu'apporte votre intervention par rapport à celle d'Imod.
C'est la suppression d'une paire parenthèses qui éclaircit le problème ?

Si tu t'adresse à moi, je te conseille de répondre Julie, c'est mieux que ces propos hors sujet...

[globule rouge]

D'accord ! Merci pour cette démonstration.

[globule rouge]

Si tu t'adresse à moi, je te conseille de répondre Julie, c'est mieux que ces propos hors sujet...

Pas de bagarres s'il-vous-plait, ou sinon par MP, comme des grands

[M@thIsTheBest]

Dlzlogic > Je répondais à M@thIsTheBest

Globule rouge >

On veut montrer injective

injective. On veut donc montrer que (définition de l'injectivité).

Supposons injective. Soient et vérifiant . Alors [CENTER][/CENTER]
Comme est injective, .

Donc : est injective.

Bon, Zweig:
je ne vois pas comment tu as montré que f est injective alors que l'hypothèse que tu as utilisé pour la démonstration est que f est injective ?

On veut montrer injective

Supposons injective

...

Comme est injective

...

est injective

?

[Zweig]

je ne vois pas comment tu as montré que f est injective alors que l'hypothèse que tu as utilisé pour la démonstration est que f est injective ?

Pourtant dans tous les messages que tu as quotés, il est bien dit noir sur blanc que l'on suppose injective, et non f injective.

[M@thIsTheBest]

Et pourquoi pas, g°f est non injective ?
(l'énoncé n'est pas limité par cette donnée et c'est évident que si tu prend g°f est injective alors f est injective)
Car comme ça tu impose que g°f est injective !
Pourquoi tu ne traite pas l'autre cas ?
C'est ça mon question Zweig.

[Zweig]

est forcément injective d'après ton système.

[Zweig]

Car la fonction est elle-même injective. En effet, tu peux vérifier que dans R, n'est vérifiée que pour x=y.

[Zweig]

Sans même résoudre l'équation : est continue et strictement croissante sur R, donc elle est injective.

[M@thIsTheBest]

Tu dit forcément, donc svp je veux voir l'autre démonstration dans laquelle tu prend g°f est non injective et tu me montre que c'est absurde..
Franchement, je ne suis pas convaincu...