Evolution réciproque

[Mickael76]

Bonjour tout le monde, ou plutôt bonsoir !

D'une manière générale et quelle que soit la question, j'ai plutôt tendance à me débrouiller seul à l'aide de mon ami Google mais ce soir, je sèche sur une question qui me paraît pourtant à portée de clavier...

Voilà l'idée : Calculer un montant total en tenant compte d'un montant de départ et d'un pourcentage de taxe. Pour résumer, quel pourcentage d’augmentation dois-je appliquer à mon montant de départ pour qu'une fois la taxe déduite je revienne à mon montant de départ ?

Exemple :
- Montant de départ : 100
- Taxe : 10 %

On est d'accord que si j'applique + 10 % à 100 et que je retire ensuite la taxe de 10 %, ça ne fonctionne pas... Pour cela, par calcul empirique, il faudrait ajouter 11,1 % et des birouettes puis appliquer la taxe de 10 % pour revenir à 100.

J'veux bien un p'tit coup d'main siouplé

[hdci]

Bonjour,
C'est un calcul "d'évolution réciproque".

Quand vous augmentez de 10%, en fait vous multipliez par 1,1 : en effet



Ceci marche avec 10% mais en fait avec n'importe quel taux : si est le taux alors une augmentation de ce taux revient à multiplier par , et on appelle le coefficient multiplicateur.

Remarque : quand je dis "taux" je ne dis pas "pourcentage" : un taux de 10%, c'est un taux égal à 0,1 car "pour cent" signifie littéralement "divisé par 100", donc 10 divisé par 100 fait bien 0,1

Donc pour revenir au point de départ, il ne faut pas retirer 10%, mais diviser par 1,1.

Plus généralement, si le taux est , alors on doit diviser par , ou ce qui est la même chose, multiplier par

Mais si on multiplie par un coefficient multiplicateur, on retrouve le taux en retirant 1 : donc le taux réciproque est en fait



Exemple avec une TVA à 20% :

Le montant HT est 550 euros, alors le montant TTC est euros et on a bien ajouté 20% de 550 soit 110 euros

Le montant TTC est 336 alors le montant HT est et le taux réciproque est ici (le signe moins indiquant une baisse). Et en effet, 16,67% sur 336 font 56,01 euros, ici le "1 centime d'écart" venant du fait que j'ai utilisé 16,67, une valeur approchée du résultat (si j'avais utilisé plus de décimales l'écart aurait été "invisible").

[Mickael76]

Merci pour cet élément de réponse mais soit j'ai pas tout compris (on ne fait d'un âne un cheval de course comme on dit), soit il manque quelque chose.

Si j'applique ça à un exemple plus concret :
- Je souhaite réaliser 100 euros de bénéfices.
- J'ai 22 % de cotisations
- En appliquant le taux de 1,22 on obtient 122
- Si je retire 22 % à ces 122 alors j’obtiens 95,15

Ce que je souhaite c'est revenir à 100 en calculant le taux à appliquer au bénéfice que je souhaite réaliser.

[lyceen95]

On va le faire avec des nombres plus simples.

J'ai un montant de départ (le montant net).
J'ajoute une taxe de 25%, j'arrive au montant brut. Ce sont les mots courants, ça peut t'aider à faire des recherches si ce n'est pas clair.
On a donc un coefficient multiplicateur de 1.25 : montant Brut = 1.25 * Montant Net

Ou encore : Montant Net = Montant Brut * ( 1 / 1.25)

Ce coefficient 1/1.25, je le calcule, avec une calculatrice quelconque, ça donne 0.80, ou encore 1-0.20
Montant Net = Montant Brut * (1 - 0.20 )
Ou encore : Montant Net = Montant Brut - 20% (à l'oral , cette ligne passe bien, mathématiquement, elle est contestable).
Le 0.20 en question (0.20, ou 20%, c'est pareil), c'est ce que tu cherches.

Quand on ajoute 25% à un montant net, on obtient un montant brut. Et il faut retirer 20% de ce montant brut pour retomber sur le montant net.
A toi d'adapter tout ça à d'autres pourcentages.

J'ai choisi 25% pour que les calculs tombent juste , ça donne exactement 20%. Mais c'est l'exception. En général, les calculs ne tombent pas juste.

[hdci]

Et sinon, avec l'exemple des 22% : 22% c'est 0,22 (22 divisé par 100).

Le coefficient multiplicateur est donc 1,22 (on augmente de 22% en multipliant par 1,22) et 1,22 = 1+0,22 = on ajoute 1 au taux.

Règle : le coefficient multiplicateur est égal au taux plus 1
Conséquence Le taux est égal au coefficient multiplicateur moins un

Donc pour revenir en arrière, il faut diviser par 1,22, c'est-à-dire multiplier par

C'est une multiplication par 0,81967, donc on trouve le taux en retirant 1 :



Soit environ 18% de baisse. (c'est négatif, il faut donc retirer 18% environ)
18% car 18% c'est 18 divisé par 100 et cela fait 0,18

On peut vérifier : retirer 18% à 122, c'est retirer 21,96, "presque" 22 et l'écart vient du fait que 18% est une valeur "arrondie" et pas une valeur exacte. Si on avait conserver "toutes" les décimales on aurait trouvé exactement 22 (et en utilisant la valeur plus précise 18,033% on aurait trouvé 22,00026 à retirer de 122).

Dans l'autre sens cela fonctionne de la même façon : supposons que j'ai une baisse de 50% :

• le taux est donc -0,5 (50 divisé par 100, et négatif car c'est une baisse).
• Le coefficient multiplicateur est donc 1-0,5=0,5 (appliquer une réduction de 50%, c'est bien diviser par 2 ou multiplier par un demi)
• Pour revenir au montant initial, il faut donc diviser par 0,5, ce qui revient à multiplier par 2
• Le taux pour revenir au montant initial est donc égal à 2-1 =1
• C'est-à-dire, augmenter de 100% (1 multiplié par 100)

[Mickael76]

Merci pour vos réponses !