Equations fonctionnelles

[lapras]

Bonjour,
j'ouvre ce post pour les prochaines équations fonctionnelles que vous voulez poster. (pour pas qu'il y ait trop de posts différents sur les équa fonctionnelles).
Voici le lien d'un post regroupant aussi plusieurs équations fonctionnelles :
Ici

Exo 1 :
Trouver toutes les fonctions continues de vers telles que :
(i)
(ii)

[Imod]

Un petit conseil lapras , si tu veux que chacun dépose son équation , donne un numéro n à la tienne et chacun continuera la liste avec n+1 , ... , sinon le fil deviendra très vite incompréhensible :zen:

Imod

[Imod]

Je ne sais si quelqu'un se souvient de celle-là :

Exo 2 : continue et telle que pour tout non nul .

C'est cette équation qui m'a incité à m'inscrire et à participer à ce forum , nous n'avons toujours pas réussi à trancher si la fonction nulle est la seule possible alors avis aux amateurs :mur:

Imod

[ffpower]

tiens je m étais aussi un peu attaqué a celle la aussi,mais je n ai abouti a rien.A mon avis,ya des solutions non triviales..

[Imod]

A mon avis,ya des solutions non triviales..

J'ai aussi tendance à penser comme toi , mais rien n'est prouvé :mur:

Imod

[Doraki]

A mon avis, y'a pas d'autre solution, mais c'est pas plus qu'un avis.

[Imod]

Le côté hypnotique de l'exo 2 ne doit quand même pas faire oublier la question initiale de Lapras :we:

Imod

[poiuytreza]

Pour l'exo de Lapras :
Tout d'abord, f est défini sur R+*, et non pas R+
En effet, f(f(x)) = x, donc f est bijective et, comme elle est continue, elle est strictement monotone. Si elle est croissante, ça ne peut être que l'identité car si f(x)>x, alors x = f(f(x)) > f(x), d'où la contradiction, et de même si f(x)
De plus, si f était définie en 0, on aurait f(x)0, donc f ne pourrait être bijective. On doit donc supposer que f n'est pas définie en 0, mais tend vers l'infini.
On a alors f(1) = lim(x->0) f(x+1) = lim(x-> 0) f(x)/(f(x)+1) = lim(y->l'infini) y/(y+1) = 1
Par récurrence, on montre alors facilement f(n) = 1/n pour n entier.
On a ensuite f(1/2) = f(f(2)) = 2
Puis, par une récurrence facile, f(n+1/2) = 1/(n+1/2)
Puis f(1/3) = f(f(3)) = 3, f(2/3) = 3/2 car f(3/2) = f(1+1/2) = 2/3
etc... (en fait on montre que f(a/b) = b/a par récurrence sur B. J'ai la flemme de faire une récurrence rigoureuse, mais ça marche comme pour les cas b = 2 ou 3.

Une fois qu'on a le résultat sur les rationnels, il suffit d'utiliser la continuité et la monotonie de f pour étendre ce résultat aux réels.

La seule solution est donc la fonction inverse.

[lapras]

Ok ca a l'air d'etre bon.
equation fonctionnelle plutot facile (et pas tres tres interessante...) qui vient de tomber ce matin aux olympiades balkaniques de serbie :
Trouver toutes les f de vers telles que pour tout m et n > 0,

[Matt_01]

Salut !

Ok ca a l'air d'etre bon.
equation fonctionnelle plutot facile (et pas tres tres interessante...) qui vient de tomber ce matin aux olympiades balkaniques de serbie :
Trouver toutes les f de vers telles que pour tout m et n > 0,

J'imagine que seule l'application identité est solution ? ^^
Prouver que cette fonction est croissante (ou monotone) résolverait des choses je pense (vu que ca implique la stricte croissance (une fonction strictement décroissante de N dans N est impossible) : elle est injective).
PS : Comment as-tu trouvé ce problème ?

[lapras]

Il suffit de trouver une identité remarquable de la forme a²+2b²=x²+2y². On aura alors : f(a)²+2f(b)²=f(x)²+2f(y)². apres faut calculer par récurrence
je te laisse trouver l'identité, elle n'est pas si compliquée qu'on peut le penser...

[Matt_01]

Merci de ces indications (même si ma question était plutôt de savoir où tu t'étais procuré l'exercice ^^)

Je trouve différentes relations, mais je ne sais pas si celles-ci seront exploitables.
Par exemple :

[lapras]

c'est pas génial comme relations car ca permet pas de faire une récurrence...
essaye plutot de trouver a,b,c,d coeffs entiers tels que :
(x+a)²+2(x+b)²=(x+c)²+2(x+d)²
sinon cette équa provient de l'olympiade balkanique 2009 (lieu : serbie)

[Matt_01]

c'est pas génial comme relations car ca permet pas de faire une récurrence...
essaye plutot de trouver a,b,c,d coeffs entiers tels que :
(x+a)²+2(x+b)²=(x+c)²+2(x+d)²
sinon cette équa provient de l'olympiade balkanique 2009 (lieu : serbie)

Ah ouip j'imaginais que c'était préférable de garder deux variables ...
Dans ces cas là :

[lapras]

Bon bah voila tu as une suite linéaire, tu peux facilement conclure !

[poiuytreza]

equation fonctionnelle plutot facile (et pas tres tres interessante...) qui vient de tomber ce matin aux olympiades balkaniques de serbie :

Je ne pense pas que cet execice soit si facile que ça en regardant les résultats :
http://www.dms.org.yu/bmo/data/RESULTS_BMO_2009.pdf
(sachant que l'équation fonctionnelle est le numéro 4)
En fait, je dirais plutot que cette équation fonctionnelle a fait un carnage...

[lapras]

Ce que je voulais dire, c'est qu'elle demandait juste de trouver une identité, c'est le seul truc qui peut prendre un peu de temps... Donc y'a pas bcp de raisonnement derriere.
Apres c'est subjectif.

[lapras]

Bonjour,
trouver toutes les telles que pour tout ,

Lapras

[ffpower]

Elle m'aura quand meme donné du mal,celle la.
Alors je commence par montrer que g=f-id est injective.Pour cela,il faut commencer par réécrire la relation ainsi:si x>y,alors f(x+g(y))=f(x)+f(y).Donc si g(y)=g(z),on fixe x>y et z,on applique f a l egalité x+g(y)=x+g(z) pour obtenir f(x)+f(y)=f(x)+f(z) donc f(y)=f(z) donc y=z.

Deuxiement,j écris que pour tout x,y,z>0,on a:
f(x+f(y)+f(z))=f(x+f(y)+z)+f(z)=f(x+y+z)+f(y)+f(z),qui peut se réécrire
g(x+f(y)+f(z))=x+f(x+y+z).On en deduit que si on a y+z=y'+z',alors g(x+f(y)+f(z))=g(x+f(y')+f(z')) donc par injectivité de g,f(y)+f(z)=f(y')+f(z').En particulier,en posant y'=z'=(y+z)/2,on a:
pour tout y,z>0,f((y+z)/2)=(f(y)+f(z))/2.

f étant de plus positive sur R+*,f doit forcément etre affine.Il suffit alors de vérifier l equation pour voir que seul f(x)=2x convient :zen:

[ffpower]

et au passage,je propose une nouvelle équation:Trouver les f:R->R telles que pour tout x,y:
f(xy(x+y))=f(x)f(y)(f(x)+f(y))