Equations fonctionnelles

[lapras]

Bonsoir,



Trouver toutes les f solutions.

[ffpower]

Ah une equation fonctionnelle,ca faisait longtemps lol.Bon ben premier arrivé,premier servi.

-En prenant y=0,on a fof(x)=f(x²),donc si f est injective,f(x)=x²
-Si f n est pas injective,il existe a,b distincts tels que f(a)=f(b).En prenant x=a puis x=b,on obtient f(a²-y)=f(b²-y) donc f est periodique de periode T=b²-a²
-En prenant y=0 puis y=T on obtient 4Tf(x)=0 donc f=0

C est pas la plus dure que t aies donnée.

[Skrilax]

J'ai pas encore lu le cours d'animaths sur les équations fonctionnelles :--:

Je vais m'y mettre d'ici peu

[lapras]

Ok ca marche
on pouvait aussi remarquer facilement en prenant y = x² puis y = -f(x) que f(x)=x² ou f(x) = 0
en supposant qu'il existe a / f(a) = 0
on montre que alors f(x) = 0 pour tout x (pour cela on prend x = a, f(y) = f(a²-y), or si y != a²/2, y² != (a²-y)² donc f(y) = 0, le cas y = a²/2 est facile aprouver que f(a²/2) = 0)
donc f(x) = x² pour tou x ou f(x) = 0 pour tout x :++:
C'est vrai qu'elle était simple,
mais t'inquiete pas je vais relancer la mode ca va être marran ! :we:

[lapras]

Trouver f telles que :

:
(1)
(2)
(3)

[ffpower]

grace a (3),on peut etendre f sur R+² en gardant les 3 propriéts,en posant par exemple f(0,y)=f(1,1+y)-1.(on pourrait meme etendre f sur R² en fait).Ensuite,si on pose a=f(1,0),on a pour x>y:
f(x,y)=f(x-y,0)+y=(x-y)a+y=ax+(1-a)y.
Si xdonc f(x,y)=a*max(x,y)+(1-a)*min(x,y).
La positivité de f entraine a dans [0,1],et ces fonctions verifient bien 1,2 et 3 donc la reponse est:l enveloppe convexe de {max,min}

[lapras]

Je ne connaissais pas l'enveloppe convexe mais ca m'a l'air bon. :happy2:

[lapras]

De mathlinks :
Trouver toutes les telles que :

[ffpower]

ayé:
-y=0 donne f(x²)=(x-1)f(x).En particulier on a f(0)=0,f(1)=0,et f(x) est nul si et seulement si f(x²) est nul.si et seulement si f(-x)=0.il suffit donc de montrer que f est nulle sur R+*
-y=1-x donne 2f(x²-x+1)=f(1)=0 donc f est nulle sur l image de x²-x+1,a savoir sur [1/4,+infini[.si a est strictement compris entre 0 et 1/4.en prenant plusieurs fois la racine carrée de a,on finira par tomber sur un reel strictement plus grand que 1/4,donc en utilisant f(x)=0 si et seulement si f(x²)=0,on en deduit f(a)=0

[lapras]

Okay ca marche.
Moi je l'ai résolue de cette maniere mais aussi d'une autre en admettant que f est continue en 0,
On voit facilement que (1) =>
=>
or
=>
(2)
Supposons que tel que
par (1) : (car )
if
est décroissante et puisque est continue en 0.
absurde
donc
Si
Soit

on a :
Il est facile de voir que est décroissante jusqu'a tel que
Si on prend et
()

donc

[rafbh]

J'ai pas encore lu le cours d'animaths sur les équations fonctionnelles :--:

Je vais m'y mettre d'ici peu

Ou est ce qu'on trouve ces cours?
Merci!

[rafbh]

Comment peut on savoir qu'il n'existe que ces deux solutions??
Vous navez traité que pour y=0!
Ca peut sembler bete mais bon!
Merci :mur:

[rafbh]

aparamment beaucoup de personnes n'ont pas envie de répondre!
Merci!

[lapras]

On a le droit de poser y = ce qu'on veut puisque la relation est valable pour tout y.

[rafbh]

Oui vous avez posé y=0 et vous avez trouvé des solutions mais si on pose y= à une autre valeur comme est on sur qu'on ne trouve pas d'autres solutions???
Merci

[lapras]

Car on a le symbole logique :

ca reste valable pour y = 0

[Skrilax]

Ou est ce qu'on trouve ces cours?
Merci!

Excuse moi je n'avais pas vu ton post !

Voilà le lien : http://www.animath.fr/tutorat.html#Les%20cours%20de%20l%27Olympiade%20fran%C3%A7aise%20de%20math%C3%A9matiques

Lis bien, tu comprendras mieux après

[ffpower]

Comment peut on savoir qu'il n'existe que ces deux solutions??
Vous navez traité que pour y=0!
Ca peut sembler bete mais bon!
Merci :mur:

Tu as presque raison,ya un petit truc qu on ne dit pas:Ce qu on dit,c est que si une fonction qui verifie la relation,alors elle doit la vérifier en particulier pour y=0 par exemple,puis en bidouillant on obtient que on doit avoir f(x)=x² ou f(x)=0.On obtient donc que si une fonction verifie la relation,alors c est l une de ces 2 fonctions.Mais ce qu il faut verifier ensuite,c est la reciproque:est-ce que ces fonctions verifient la relation pour tout x et tout y.Et ca on le laisse generalement au lecteur car c est juste un petit calcul de verification