Soit
Trouver toutes les fonctions
Bonne chance.
Thomas G :zen:
Equations fonctionnelles
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Equations fonctionnelles
par nekros » 20 Juil 2006, 00:57
Bonsoir,
Soit
et 
dans 
.
Trouver toutes les fonctions
de 
dans telles que pour tout 
et 
:
f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})})
Bonne chance.
Thomas G :zen:
Soit
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Bonne chance.
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par buzard » 20 Juil 2006, 12:59
Pas mal l'equation,
j'obtiens comme solutions (suivant les valeurs de alpha et beta)
=0)
avec
et a un réel positif ou nul.
si on impose la continuité à droite en 0, alors il ne reste plus que
avec 
J'ai essayer de montrer que f etait dérivable à droite en 0 (pour obtenir la continuité) mais j'y suis pas arrivé, si quelqu'un à une idée ca m'interesse.
j'obtiens comme solutions (suivant les valeurs de alpha et beta)
avec
et a un réel positif ou nul.
si on impose la continuité à droite en 0, alors il ne reste plus que
J'ai essayer de montrer que f etait dérivable à droite en 0 (pour obtenir la continuité) mais j'y suis pas arrivé, si quelqu'un à une idée ca m'interesse.
par nekros » 22 Juil 2006, 00:33
Buzard, peux-tu détailler ton raisonnement ?
Il faut voir que comme et 
jouent des rôles symétriques dans le membre de gauche, il doit en être de même dans le membre de droite.
On a donc pour et 
: +x^{\beta}f(\frac{y}{2})=x^{\alpha}f(\frac{y}{2})+y^{\alpha}f(\frac{x}{2}))
Il reste à traiter les cas
et 
Thomas G :zen:
Il faut voir que comme
On a donc pour
Il reste à traiter les cas
Thomas G :zen:
par aviateurpilot » 22 Juil 2006, 01:40
a=alpha et b=beta
on a
et
si on prend y=1 dans la relation (*) on trouve que f(1/2)=0.
et on a d'apre (1) :
en replacant y par 2 dans (*) on trouve :
quelque soit x de R
si
et il rest le cas ou a=b
par aviateurpilot » 22 Juil 2006, 01:42
nekros a écrit:faut voir que comme x et y jouent des rôles symétriques dans ...............
quandtu as posté ca
j'ete entraine d'ecrire ma solution :++:
par nekros » 23 Juil 2006, 00:26
La réponse de aviateurpilot est correcte pour le cas \alpha \neq \beta.
Pour, on a :
Pour
avec et 
, on remarque que =\frac{1}{2}\frac{1}{x^{\alpha}}(f(x))^2)
On a doncf(y)=\frac{1}{2}y^{\alpha}\frac{1}{x^{\alpha}}(f(x))^2+\frac{1}{2}x^{\alpha}\frac{1}{y^{\alpha}}(f(y))^2)
On a donc}{x^{\alpha}}=\frac{f(y)}{y^{\alpha}})
Donc}{x^{\alpha}}=c)
avec 
pour 
Donc=cx^{\alpha})
L'équation initiale s'écrit donc :^{\alpha})
On trouve facilement que
ou 
Les solutions sont donc
et 
Reste à vérifier la réciproque.
Thomas G :zen:
Pour
Pour
On a donc
On a donc
Donc
Donc
L'équation initiale s'écrit donc :
On trouve facilement que
Les solutions sont donc
Reste à vérifier la réciproque.
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