Enigme tirée du thriller mathématique "676"...

[Yan G.]

Bonjour à tous,

Je vous propose quelques petites énigmes construites à partir d'un principe assez simple: on recherche des nombres jumeaux...
Cela nécessite deux définitions:

l'hérédité d'un nombre est l'ensemble de ses diviseurs premiers
exemples:
l'hérédité de 11 est {11}
l'hérédité de 12 est {2,3}...

Deux nombres sont dits jumeaux (rien à voir avec les premiers jumeaux) s'ils ont la même hérédité.
exemple:
7 et 49 sont jumeaux
24 et 36 sont jumeaux

Prenons un graphe de sommets étiquetés par des entiers naturels (autrement dit des entiers reliés par des traits).
Sur ce premier exemple, le triangle de sommets 1, 2 et 3

[center][/center]

Il y a trois nombres à découvrir, un sur chaque arête, appelons les a,b,c

[center][/center]

Le triplet (a,b,c) que nous cherchons doit vérifier la propriété suivante
a+1 et b+1 doivent être jumeaux
b+2 et c+2 doivent être jumeaux
c+3 et a+3 doivent être jumeaux
a,b,c deux à deux différents (histoire d'éviter les solutions triviales ou partiellement triviales)

Il y a de nombreuses solutions. Je vous propose d'en chercher quelques unes....
Cette petite énigme est tirée d'un thriller mathématique, le genre de livre qu'on peut avoir envie de lire pendant les vacances... Je profite donc de l'occasion pour faire un peu de pub, le livre s'appelle 676 et c'est un thriller ésotérique avec un background mathématique (vous trouverez plus de renseignements sur le livre par exemple sur le site web
[url="http://www.676-lelivre.com/"]http://www.676-lelivre.com/[/url] )

Après cet aparté, maintenant que vous avez compris le principe de l'énigme, vous pouvez compliquer un peu le graphe... je vous en propose 3. Celui du milieu n'est pas trop difficile. Je n'ai pas résolu les deux autres mais j'aurais pu me montrer plus dur à la tâche. Ces graphes ont une connotation ésotérique mais puisque c'est le thème du livre dont ils sont tirés, il ne faut pas être surpris :briques:



[center][/center]



D'une manière générale, ces petites énigmes sont inspirées de la conjecture d'Erdös-Woods -liée à la possibilité de définir l'égalité des entiers naturels à partir de l'addition et de la gémellité.
J'attends vos solutions... et si vous avez l'occasion de lire le livre, j'espère de tout coeur qu'il vous plaira.

Y.G

PS. je remercie le modérateur qui m'a invité à dire "bonjour", la courtoisie n'est jamais de trop sur un forum et j'avais posté mon énigme un peu à la va vite, sans prendre garde au fait que j'étais un petit nouveau -il est parfois d'usage de poster directement quelques mots sur certains forums mais dans les conditions présentes, c'était clairement maladroit :stupid_in

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Bonjour
Liste de l'hérédité des nombres jusqu'à 200 ( {2,3} => 6 (produit de l'ensemble des diviseurs premiers)
1 1
2 2
3 3
4 2
5 5
6 6
7 7
8 2
9 3
10 10
11 11
12 6
13 13
14 14
15 15
16 2
17 17
18 6
19 19
20 10
21 21
22 22
23 23
24 6
25 5
26 26
27 3
28 14
29 29
30 30
31 31
32 2
33 33
34 34
35 35
36 6
37 37
38 38
39 39
40 10
41 41
42 42
43 43
44 22
45 15
46 46
47 47
48 6
49 7
50 10
51 51
52 26
53 53
54 6
55 55
56 14
57 57
58 58
59 59
60 30
61 61
62 62
63 21
64 2
65 65
66 66
67 67
68 34
69 69
70 70
71 71
72 6
73 73
74 74
75 15
76 38
77 77
78 78
79 79
80 10
81 3
82 82
83 83
84 42
85 85
86 86
87 87
88 22
89 89
90 30
91 91
92 46
93 93
94 94
95 95
96 6
97 97
98 14
99 33
100 10
101 101
102 102
103 103
104 26
105 105
106 106
107 107
108 6
109 109
110 110
111 111
112 14
113 113
114 114
115 115
116 58
117 39
118 118
119 119
120 30
121 11
122 122
123 123
124 62
125 5
126 42
127 127
128 2
129 129
130 130
131 131
132 66
133 133
134 134
135 15
136 34
137 137
138 138
139 139
140 70
141 141
142 142
143 143
144 6
145 145
146 146
147 21
148 74
149 149
150 30
151 151
152 38
153 51
154 154
155 155
156 78
157 157
158 158
159 159
160 10
161 161
162 6
163 163
164 82
165 165
166 166
167 167
168 42
169 13
170 170
171 57
172 86
173 173
174 174
175 35
176 22
177 177
178 178
179 179
180 30
181 181
182 182
183 183
184 46
185 185
186 186
187 187
188 94
189 21
190 190
191 191
192 6
193 193
194 194
195 195
196 14
197 197
198 66
199 199
200 10

[Yan G.]

C'est marrant Adrd, je n'avais pas pensé à voir l'hérédité sous forme d'une suite (sachant qu'ici tu représentes logiquement l'ensemble {2,5} par 10).
Dans cette séquence que tu as écrite, on peut trouver des répétitions de mots de longueur 2: le mot 6-7 apparait par exemple deux fois dans ce début de suite (avec les indices 6-7 et 48-49).
La version la plus forte de la conjecture d'Erdös-Woods dit qu'aucun mot de longueur 3 ne se répète!
Evidemment, cela n'est pas l'énigme proposée parce que ce résultat est certainement très très très.... très difficile (et peut-être faux). Mais disons qu'il fournit un cadre amusant pour des énigmes plus faciles. Je suppose que les premières solutions à l'énigme du triangle 1-2-3 ne vont pas tarder!!!!!

[adrd]

a=6 b=48 c=78

a+1=7 b+1=49 {7}
b+2=50 c+2=80 {2,5}
c+3=81 a+3=9 {3}

[Yan G.]

Parfait!
C'est d'ailleurs probablement la plus petite solution selon l'ordre lexicographique.... et c'est aussi la première citée dans "676".
Il y en a beaucoup d'autres.

Ce qu'il y a de surprenant avec ces problèmes dits "des nombres noirs" dans le livre, c'est à quel point ils sont difficiles à résoudre à la main. Si je peux me permettre une question Adrd, as-tu utilisé un petit bout de code? (une recherche exhaustive jusqu'à 200 par exemple?)

[adrd]

Si je peux me permettre une question Adrd, as-tu utilisé un petit bout de code? (une recherche exhaustive jusqu'à 200 par exemple?)

Oui

Pour les nombres inférieurs à 300 j'ai trouvé :
a=6 b=48 c=78
a=7 b=31 c=97
a=17 b=5 c=47
a=168 b=12 c=54

[jamys123]

Cette petite énigme est tirée d'un thriller mathématique, le genre de livre qu'on peut avoir envie de lire pendant les vacances... Je profite donc de l'occasion pour faire un peu de pub, le livre s'appelle 676 et c'est un thriller ésotérique avec un background mathématique (vous trouverez plus de renseignements sur le livre par exemple sur le site web
[url="http://www.676-lelivre.com/"]http://www.676-lelivre.com/[/url] )

yop,

je viens de voir le site... tu fais ta propre pub...chapeau bas l'artiste...

[Yan G.]

Merci jamys123... :jap:
C'est difficile de faire connaître un livre si on ne s'est pas déjà fait un "nom", l'espace médiatique est le plus souvent réservé pour des auteurs reconnus :wc: .
Du coup, je fais un peu d'auto-promo du côté des lecteurs qui sont le plus susceptibles d'aimer le livre. Comme je suis mathématicien (maths/informatique), que le héros de l'histoire est mathématicien et que l'histoire a un fond mathématique, je me suis dit que les membres de ce forum sympathique pourraient y être sensibles...

En plus de ça, on peut s'amuser avec les nombres premiers....
Adrd a résolu l'énigme1...
Restent les énigmes 2, 3, 4. La 3 -celle du milieu- n'est pas plus difficile que la première (je ne doute pas qu'adrd en fera une bouchée avec une petite adaptation de son code). En revanche, je n'ai pas trouvé de solution pour la 2 et la 4 mais je n'ai peut-être pas poussé assez loin les recherches! Il faut dire qu'il y a un peu plus de variables... :pc:

[adrd]

J'ai décomposé le problème en 2 partie :

a_1_b_3_c_5_
15 1 5
195 13 5
13 97 7
7 1 13
31 1 13
99 9 21
99 159 21
9 49 23
63 1 29
179 239 41
15 3 45
9 159 51
127 1 61
9 159 93
5 11 95
35 11 95
5 53 95
35 53 95
255 1 125
1 7 157
31 7 157
13 97 157
15 63 195

a_2_b_4_c_6_
14 0 4
194 12 4
12 96 6
6 0 12
30 0 12
98 8 20
98 158 20
8 48 22
62 0 28
178 238 40
14 2 44
8 158 50
126 0 60
8 158 92
4 10 94
34 10 94
4 52 94
34 52 94
254 0 124
0 6 156
30 6 156
12 96 156
14 62 194

Donc il y a quelques centaines de possibilités pour des nombres inférieurs à 300.

[Yan G.]

Exactement Adrd... le troisième problème se compose de deux triangles qui ne sont pas liés l'un à l'autre (en termes de graphes, il y a deux composantes connexes). On peut donc les résoudre indépendamment et assembler n'importe quelle solution du premier triangle avec n'importe quelle solution du second...

On peut ensuite remarquer qu'en fait, les deux triangles son identiques, à une translation de 1 près (les sommets de chaque triangle sont 1,3,5 ou 2,4,6). Ce qui signifie que si a,b,c est solution du premier problème, a-1,b-1,c-1 est solution du second...
Cela simplifie considérablement la recherche et ramène le problème 3 à un triangle de sommets 1,3,5... Malheureusement, cette simplification ne fonctionne pas sur les deux dernières énigmes à résoudre: il nous reste donc l'énigme 2 et l'énigme 4 !!!!! :!: