Enigme à deux ronds

[Ben314]

Juste pour poser une petite énigme de géométrie très très simple (inspirée d'un post du collège) :

Sur une feuille entièrement blanche sont tracé 2 points A et B.
Vous savez que A:(2,1) et B(-2,3) dans un repère orthogonal direct (i.e. les axes sont orthogonaux, les unités sur les x et y sont les mêmes et on va du demi axe Ox vers Oy en tournant d'1/4 de tour dans le sens trigo)
Comment tracer les axes (à la règle est au compas, bien sûr) ?

[Imod]

C'est vrai qu'en théorie c'est très facile si on ne cherche pas à minimiser le nombre de manipulations .

La distance AB vaut . On sait partager un segment en parts égales et construire le produit de deux longueurs donc on trouve l'unité . Sur le cercle de diamètre [AB] on place les points C et D tels que AC=AD=4 alors C(-2;1) et D(2;3) ( on regarde l'orientation pour les différentiés ) . Il ne reste plus qu'à tracer les parallèles à (AC) et (BC) à la distance voulue pour conclure .

Il y a surement bien plus simple .

Imod

[nodjim]

La médiatrice de AB passe par C (milieu de AB) et D (-2,1). D se construit facilement au compas car CD=AC. La médiatrice de AD est l'axe Oy. Le milieu de BD est E, la médiatrice de DE est l'axe 0x.

[Doraki]

Moi j'aurais tendance à tracer le repère orthogonal direct (A,AB,AC), puis chercher des points sur les axes à tracer qui sont faciles à construire.

AB = (-4,2) donc AC = (-2,-4) et C = (0,-3).
Donc déjà, C est sur l'axe des Y. Ensuite C + AC + BC donne un autre point de l'axe des Y.
Et même genre de chose pour l'axe des X.

[Imod]

Autre possibilité :

On trace le milieu I de [AB] , C l'image de B par la rotation de centre I et d'angle 90° et M l'image de A par la translation de vecteur IA . (CM) est l'axe des abscisses et la perpendiculaire à ((CM) passant par I est l'axe des ordonnées .

Imod

[nodjim]

zut, je suis parti du pt B (-2,-3) au lieu de (-2,3).

[danyL]

un peu au pif ...
avec le compas on trace la médiatrice du segment AB et I (0;2) le milieu de [AB]
le cercle de centre I et de rayon AB coupe la droite (AB) en C(4;0) et D(-4;4)
le cercle de centre I et de rayon AB/2 coupe la médiatrice de [AB] en E(1;4) et F(-1;0)
la droite (CF) est l'axe des x
la perpendiculaire à (CF) passant par I est l'axe des y

[chan79]

salut
on place:
le milieu I de [AB] l'axe des y passe par I(0;2)
l'image C de B par la rotation de centre I et d'angle 90°. L'axe des x passe par C(-1,0)
le symétrique D de I par rapport à A. L'axe des x passe par D(4,0)

[Ben314]

Bon, il y a effectivement des tonnes de méthodes plus ou moins rapide.
Perso, j'étais plutôt parti à simplifier le truc en traçant les intersection P et Q des axes avec la droite (AB) puis à montrer que O est sur le cercle de diamètre [PQ] et sur un autre cercle un peu plus chiant à tracer (le centre est le barycentre de P et Q affectés de coeffs pas super sympatiques).

Sinon, j'ai failli enlever le problème juste après l'avoir mis vu qu'il y a une solution pas bien subtile : on trace un repère orthogonal direct plus ou moins n'importe comment, puis on place les points A' et B' ayant les même coordonnées que A et B dans ce repère et on termine en utilisant l'unique similitude directe qui envoie A' sur A et B' sur B : tout se fait sans trop de soucis et c'est pas bien passionnant comme méthode... :marteau:

Après, effectivement, on peut chercher "plus joli" ou "plus rapide"...