Enigme des nains et des lingots

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
ninjasam
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Enigme des nains et des lingots

par ninjasam » 04 Sep 2007, 14:29

Bonjour

Voila une de mes enigmes préférés. Je vous dit tout de suite c'est une vrai enigme pas un vieu jeu de mot comme on voit souvent sur les sites d'enigmes donc vous pouvez librement vous creusez les meninges sans vous dire oui mais je suis sur que en fait c'est une solution foireuse.

C'est l'histoire de n nains (on va dire 50) qui recoltent de l'or pour le maitre des nains. Les nains fabriquent avec cette or des lingots d'exactement 1 kg. Le probleme est qu'un des nains est un voleur et à chaque fois qu'il fabrique un lingot il vole 1g d'or et fabrique ainsi des lingots de 999g. Le maitre des nains peut demander à chacun des nains de fabriquer autant de lingots qu'il le souhaite, le nain voleur volera systematiquement 1g. Les lingots sont numérotés donc il est possible de savoir qui a fabriqué le lingots. Pour demasquer ce voleur le maitre des nains dispose d'une balance magique (avec ecran digital) qui peut effectuer avec une precision infinit une seul pesée. Elle peut peser tout ce qu'on veut aussi lourd soit il. La question est comment peut-il demasquer avec certitude le voleur?

Ps. Ne me dites pas c'est Grincheu


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sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 04 Sep 2007, 14:41

n Nains ...

et une seule pesée ??? !

Imod
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par Imod » 04 Sep 2007, 14:44

Il suffit de peser n(n+1)/2 lingots , 1 du 1er nain , 2 du deuxième , 3 du troisième , ... . L'écart de masse en g par rapport à 500n(n+1) indique le numéro du nain filou .

Imod

Flodelarab
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par Flodelarab » 04 Sep 2007, 15:26

Tu as tout à fait raison.
J'ajouterais même que ça c la version a 1 voleur.
Mais moi je suis parano. Je pense que "le voleur" peut être "les voleurs".

J'utiliserais donc une numérotation en base 2:
1 du premier.
2 du second.
4 de troisième.
8 du 4eme ....

Comme ça j'aurais plusieurs voleurs le cas échéant.

alben
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par alben » 05 Sep 2007, 10:15

Flodelarab a écrit:Tu as tout à fait raison.
J'ajouterais même que ça c la version a 1 voleur.
Mais moi je suis parano. Je pense que "le voleur" peut être "les voleurs".

J'utiliserais donc une numérotation en base 2:
1 du premier.
2 du second.
4 de troisième.
8 du 4eme ....

Comme ça j'aurais plusieurs voleurs le cas échéant.

A condition que les voleurs utilise la même stratégie (prélèvement constant) et que la quantité volée soit de 1g pour tous.
Et si chaque voleur préléve une quantité différente, supposée entière en gramme ?

Flodelarab
Membre Légendaire
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par Flodelarab » 05 Sep 2007, 14:57

alben a écrit:A condition que les voleurs utilise la même stratégie (prélèvement constant) et que la quantité volée soit de 1g pour tous.
Et si chaque voleur préléve une quantité différente, supposée entière en gramme ?

Système du sac à dos.

ninjasam
Membre Naturel
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Bravo

par ninjasam » 05 Sep 2007, 16:33

Felicitation
Surtout à Flodelarab pour cette généralisation qui fait devenir cette enigme tres tres interssante.

Patastronch
Membre Irrationnel
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par Patastronch » 05 Sep 2007, 20:01

Flodelarab a écrit:Système du sac à dos.


C'est a dire ?

Je vois pas comment en une unique pesée t'arrives a déterminer les voleurs lorsqu'ils prelevent une quantité aléatoire d'or sur chaque lingot.

D'ailleur je doute meme de la possibilité de le faire dans tous les cas. Alros si tu pouvais détailler ton idée parceque je comprends pas :cry:

alben
Membre Irrationnel
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par alben » 05 Sep 2007, 23:45

Patastronch a écrit:C'est a dire ?
Je vois pas comment en une unique pesée t'arrives a déterminer les voleurs lorsqu'ils prelevent une quantité aléatoire d'or sur chaque lingot.
Bonsoir,
Technique du sac à dos ? je ne connais pas.
En revanche, en supposant que chaque voleur prélève une quantité constante et entière (mais différente pour deux voleurs), c'est soluble.
Pour faire simple supposont que les vols ne dépassent pas 10g
On demande au premier 1 lingot, 11 au second, 121 au 3iéme etc... soit au total N=. Il suffit alors d'écrire le poids en grammes manquant 1000N-Pds en base 11 pour lire le N° de chaque voleur et son prélèvement.
J'ai pris 11 car c'est un de plus que le maxi de 10. Dans le cas limite, il faut prendre 1000 (difficile de montrer un lingot de 1Kg dont on a retiré plus de 999g)
NB avec seulement 11 la balance doit être très précise (peser l'univers à un gramme près ou le soleil à un atome près)

Flodelarab
Membre Légendaire
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Enregistré le: 29 Juil 2006, 16:04

par Flodelarab » 06 Sep 2007, 00:08

alben a écrit:=
:ptdr: C'est bien un résultat de matheux. :ptdr:

Le sac à dos ?
ça revient à ça. On s'arrange pour prendre des nombres assez grands qui ne se chevauchent pas et qui permettent d'écrire un nombre comme dans une base mais sans que se soit si "régulier" que la combinaison linéaire des puissances d'une base.

Patastronch
Membre Irrationnel
Messages: 1345
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par Patastronch » 06 Sep 2007, 04:45

ok, j'ai compris merci. Donc en gros pour etre sur on prend la base 1001 puisqu'il y a 1 kilo par lingot et le max volable est le lingot ! ce qui fait un paquet de lingots d'or a produire pour chaque nain affin qu'on puisse s'enteter a vérifier en une seule pesée :p

Par contre le cas initial que javais compris c est que la quantité d'or etait pas forcément identique pour un meme voleur. Mais ca semble irrésoluble meme avec les bases

 

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