Bonsoir,
moi je n'ai pas regardé les divers liens proposés dans cette discussion, mais j'ai commencé à réfléchir au problème hier soir avant de me coucher pour en trouver la résolution ce matin en plein travail sur autre chose (lol).
Cela repose effectivement sur l'invariance par rotation du problème : le 2ème nain se retrouve exactement dans la même position que le 1er nain après que celui-ci ait réparti le contenu de son verre dans celui des 6 autres. En effet, puisqu'au bout d'un tour, lorsque le 7ème nain répartit également le contenu de son verre dans celui des autres, on revient à la situation initiale, alors si l'on continue, le second nain se retrouvera, une fois que le 1er nain aura réparti également le contenu de son verre dans celui des autres, dans la même situation qu'au tour d'avant. Cette situation étant exactement celle du 1er nain juste avant que celui-ci ne vide son verre.
Par ce raisonnement, il est donc établi que tout nain numéro n vérifie ce que le 1er nain vérifie, à savoir que "Le nain numéro n partage son lait uniformément entre les six autres sans en garder pour lui. En parcourant la table dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, chaque autre nain fait de même. Après que le nain numéro n+6 [7] a partagé son lait, le contenu des verres est le même qu'au départ."
La situation tourne donc à chaque fois qu'un verre se vide : le verre qui le suit se trouve alors dans la situation dans laquelle celui qui le précèdait se trouvait juste avant lui, c'est-à-dire que les quantités dans chaque verre ont subit une rotation d'un verre. On le voit par exemple avec le verre vide, puisqu'il y en a toujours un, qui tourne à chaque fois.
Par conséquent, si l'on note le contenu initiale du verre numéro 1
, celui du verre numéro 2,
, etc..., le contenu du verre numéro 2 après que le 1er nain a réparti le contenu de son verre doit être celui du verre numéro 1 avant qu'il ne répartisse le contenu de son verre (c'est-à-dire la quantité initiale x_1 de ce verre), or cette quantité vaut aussi
, donc :
d'où
De même,
, etc...
Du coup, on exprime la quantité initiale de chaque verre en fonction de celle de
, puis comme on connaît la somme (3), on en déduit
(somme des termes d'une suite géométrique) puis les autres quantités.
Vous êtes d'accord? :happy3: