Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

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MJoe
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Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par MJoe » 10 Aoû 2017, 08:57

Énigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

Rappel de base : La division euclidienne
La division euclidienne de par s'écrit ainsi :
avec
est le reste de la division euclidienne de par .
Par exemple : 30 = 7*4 + 2. On dira que 2 est le reste de la division euclidienne de 30 par 7.
On a l'écriture mathématique suivante :

Enigme :
Après son escale à la Barbade, le navire YellowKiwiGreen continue sa traversée en direction de la Jamaïque afin d'amener à bon port les centaines de tonnes de kiwis jaunes et verts.
Les 216 marins chanceux (voir l'énigme précédente : Les pièces d'or des marins chanceux) qui ont gagné une pièce d'or sont joyeux et chantonnent des chants traditionnels.
Le soleil se couche sur la mer et le Capitaine semble rêveur en regardant par l'une des fenêtres de la dunette.
Son plus fidèle officier, le lieutenant Ryan, remarque alors cette rêverie.
Ryan : Mon Capitaine, vous semblez rêveur ou inquiet non ?
Capitaine : Oui, je dois bien l'avouer...
Ryan : Que se passe-t-il donc ?
Capitaine : Et bien voilà, la Reine des Sirène, Magnifika, est venue me parler dans mes rêves afin de me proposer un marché.
Ryan : Un marché ? Mais lequel ?
Capitaine : Elle m'a proposé d'épargner les marins pour ce trajet retour (voir la précédente énigme : Les marins et le chant des sirènes) à condition de lui livrer une partie des marins chanceux qui ont gagné une pièce d'or. Il nous suffirait alors de débarquer ces dits marins sur l'île de BeautyIsland et de revenir les chercher un an plus tard.
Ryan : Mais qu'allez-vous faire Mon Capitaine ?
Capitaine : Nous avons déjà eu beaucoup de pertes pour venir à la Barbade, je ne voudrais pas que cela recommence une nouvelle fois. Alors oui, je suis prêt à débarquer une poignée d'hommes pour en sauver plus de 600 autres !
Ryan : Et comment allez-vous faire pour désigner les marins chanceux concernés ?
Capitaine : Oh, un simple calcul suffira et c'est vous, Ryan, qui allez vous y coller !
Ryan : Mais mon Capitaine, et si tout ceci n'était que le ... fruit de votre imagination.
Capitaine : Et bien c'est ce que nous allons voir !
Le Capitaine décrocha le téléphone de la salle des machines. Le marin N°14 décrocha :
N°14 : Numéro 14, j'écoute.
Capitaine : Mettez le cap sur l'île de BeautyIsland, immédiatement !
N°14 : Mais mon Capitaine, se serait se jeter dans la gueule du loup ! De plus le chant des sirènes se fait de plus en plus insistant et la cire dans nos oreilles fait à peine effet !
Capitaine : Obéissez matelot, cap sur BeautyIsland !
N° 14 : A vos ordres mon Capitaine.

Le "YellowKiwiGreen" changea de cap, direction BeautyIsland. La proue du navire fendait la mer et l'écume blanchâtre qui remontait à la surface en se frottant à la coque faisait penser à la chevelure... d'une sirène.
Et puis, tout d'un coup, le chant des sirènes cessa.
Capitaine : Vous voyez, Ryan, vous voyez ! Ou plutôt, vous entendez !
Ryan : Oui, effectivement. Puis-je poser une dernière question ?
Capitaine : Oui, je vous écoute.
Ryan : Qu'est-ce que Magnifika va faire d'une poignée de marins pendant un an ?
Capitaine : Alors là, je n'en ai aucune idée, mais vraiment aucune idée !

Le calcul :
Pour chaque marin chanceux ayant gagné une pièce d'or, Ryan doit calculer le reste de la division euclidienne par 7 du numéro du marin, , à la puissance est le plus grand nombre premier inférieur ou égal à .
Autrement dit, Ryan doit déterminer tel que :
avec , ce qui s'écrit également :
Exemples :
Pour le marin N°1, on considère que ce reste vaut 1 (car il n'existe pas de nombre premier inférieur ou égal à 1)
Pour le marin N°15, alors p = 13 et le reste de la division de 15^13 par 7 vaut 1 donc
Pour le marin N°13, alors p = 13 et le reste de la division de 13^13 par 7 vaut 6 donc
Pour le marin N°9, alors p = 7 et le reste de la division de 9^7 par 7 vaut 2 donc

Finalement, les marins qui seront débarqués sur l'île de BeautyIsland seront les marins chanceux dont le reste, , est égal à 4 (la liste des marins chanceux est donnée ci-après sous la forme d'un fichier texte).

Question :

Combien de marins seront débarqués sur l'île de BeautyIsland et quels sont les numéros de ces marins ?

Nota : les numéros des marins débarqués sont nécessaires au Capitaine afin de tenir à jour son registre de bord.

Ci-joint, la liste des 216 marins chanceux ayant gagné une pièce d'or. Fichier "texte" à télécharger.

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pascal16
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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par pascal16 » 10 Aoû 2017, 14:57

Wello, une version tableur serait bien, mais les exposants explosent tout.

hors : le reste modulo 7 est le même pour n^p et (n mod 7)^p
de plus la congruence modulo 7 d'un nombre à un exposant p est cyclique, de cyclicité au plus de 7

soit un problème avec des petits nombres :
n congru à 0 mod 7 -> r=0
n congru à 1 mod 7 -> r=1
n congru à 2 mod 7 et p congru à 2 modulo 3 => r=4
n congru à 3 mod 7 et p congru à 4 modulo 7 => r=4
n congru à 4 mod 7 et p congru à 1 modulo 3 => r=4
n congru à 5 mod 7 et p congru à 2 modulo 6 => r=4
n congru à 6 (ou -1) mod 7 -> r=1 ou 6 (ou -1)

reste à faire un tableau avec des 'if'

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par pascal16 » 10 Aoû 2017, 15:38

Méthode :
on récupère la liste des nombres premiers jusqu'à 1500
la fonction recherchev avec 1 comme paramètre final donne le nombre précédent plus petit, le nombre premier qu'on cherche.

ensuite on fait les 4 tests du genre =SI(E2=2 ET (MOD(D2;3)=2);1;0)
ça donne un 1 à chaque fois que les conditions sont remplies
on fait la somme

avec deux bateaux, on éliminerait la réponse à toutes les questions.

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par MJoe » 10 Aoû 2017, 18:48

Bonjour @Pascal16 et bonjour à tous,

Oui c'est une méthode mais elle demande pas de tests et de plus cela t'a obligé à faire un calcul "à la main" avant de lancer un algorithme de résolution.
Il existe une autre méthode, beaucoup plus immédiate, qui consiste à "reprogrammer" la fonction MOD() car tu as raison, la fonction MOD() d'Excel est limitée à 2^27, soit 134 217 728 et dans ce cas la fonction MOD() affiche #NOMBRE!
Plus d'infos sur la fonction MOD() (support Microsoft).

J'ai fait deux calculs avec Excel pour présenter cette limitation :

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par MJoe » 10 Aoû 2017, 18:56

pascal16 a écrit:avec deux bateaux, on éliminerait la réponse à toutes les questions.


Deux tableaux tu voulais dire non ? ;)

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par pascal16 » 10 Aoû 2017, 19:30

la réponse à tout, c'est 42
ici, j'ai trouvé la moitié

au départ, on pouvait penser être vers 216/7 soit 30 personnes environ
ma petite étude donne 41/42*216/7
Modifié en dernier par pascal16 le 10 Aoû 2017, 20:43, modifié 1 fois.

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par MJoe » 10 Aoû 2017, 19:44

Bonjour @pascal16 et bonjour à tous,

Finalement, quelle est le nombre de marins et quels sont les numéros des marins chanceux qui seront débarqués sur l'île de BeautyIsland ?

Nota : les numéros des marins débarqués sont nécessaires au Capitaine afin de tenir à jour son registre de bord.

MJoe.

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par pascal16 » 10 Aoû 2017, 20:46

J'ai 21 chanceux (avec r=4) : 51, 67, 93..., 1101, 1117, 1201.

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par MJoe » 11 Aoû 2017, 07:46

Bonjour @pascal16 et bonjour à tous,

C'est une bonne réponse ! Il y a effectivement 21 marins qui seront débarqués sur l'île de BeautyIsland :

Marin N° 51 : 51^47 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 67 : 67^67 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 93 : 93^89 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 135 : 135^131 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 151 : 151^151 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 193 : 193^193 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 261 : 261^257 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 303 : 303^293 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 487 : 487^487 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 529 : 529^523 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 613 : 613^613 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 723 : 723^719 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 739 : 739^739 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 823 : 823^823 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 933 : 933^929 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 961 : 961^953 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 975 : 975^971 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 991 : 991^991 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 1101 : 1101^1097 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 1117 : 1117^1117 est congru à 4 modulo 7.
Marin N° 1201 : 1201^1201 est congru à 4 modulo 7.
Soit un total de 21 marins.

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par MJoe » 11 Aoû 2017, 07:49

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par pascal16 » 11 Aoû 2017, 14:17

mes formules du tableur

La colonne A contient les nombres premiers jusqu'à 1500
La colonne C contient le N° des marins

D : RECHERCHEV(C2;A$1:A$240;1;1)
C2 contient le N° du marin
A$1:A$240 la liste des nombres premiers jusqu'à 1500 à laquelle j'ai rajoutée 1 en premier.
1 : va extraire une fois le chiffre trouvé dans le première colonne du tableau A$1:A$240.
1 : la recherche n'est pas exacte mais au plus proche inférieur (marche avec des lettres aussi)

si on veut extraire le modulo 7 avant :
E2:"=MOD(C2;7)"

En colonne D on a la liste des nombres premiers p correspondant à chaque marin
En colonne E on a le N° du marin modulo 7
=SI(E2=2 ET (MOD(D2;3)=2);1;0)
test si le reste modulo 7 vaut 2 et si mod 3 vaut 2
en sortie j'ai 1 si c'est vrai, 0 si c'est faut

on fait pareil pour les 4 tests

à la fin on fait une somme sur ces 4 test (on peut alors récupérer le numéro du marin en même temps)
on fait la somme sur les résultats, on a le nombre total de marins

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par MJoe » 11 Aoû 2017, 17:01

Bonjour,

Merci pour cette précision "tableur". Cela permet de compléter la solution de cette énigme.
Merci d'avoir joué et à bientôt si je trouve d'autres idées.

MJoe.

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par MJoe » 11 Aoû 2017, 17:12

Epilogue :

Le "YellowKiwiGreen" débarqua les 21 marins sur l'île de BeautyIsland puis il reprît le large poussé par un vent de Sud-Ouest. Tout le monde était silencieux à bord sauf un des marins, le N°6 qui s'écria : "Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre".
Le capitaine ne pût s'empêcher de dire au lieutenant Ryan :
-- Bon sang c'est encore lui, le N°6. Mais il se croit vraiment prisonnier celui-là alors !
-- Mon Capitaine, il faut dire que lorsque nous sommes en escale vous l'empêchez de débarquer avec les autres marins...
-- Bien évidemment, sinon il s'enfuirait et nous aurions un marin de moins à bord ! Il croit dur comme fer qu'il est notre prisonnier.
-- Mais dans les faits, tout se passe comme si il l'était vraiment non ?
Le Capitaine ne répondit pas. Il regardait au loin, là où l'océan semble toucher le ciel.
Les 2 000 tonnes du "YellowKiwiGreen" fendaient la mer comme un fer à souder brulant fendrait une motte de beurre tiède. "Jamaïque, nous voici" pensa le Capitaine.
La matinée semblait fort calme mais tout n'était qu'apparence, tout comme la mer dont les profondeurs sont souvent insondables.

MJoe.

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par pascal16 » 11 Aoû 2017, 20:44

Merci MJoe pour ces petites récréations mathématiques.

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Re: Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

par MJoe » 13 Aoû 2017, 15:07

Merci à toi. ;)

 

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