Encore du pile ou face

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Kekia
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Encore du pile ou face

par Kekia » 28 Jan 2022, 12:23

Bonjour, j'avais posé ce problème ailleurs mais comme la solution n'a pas été donnée et qu'il peut peut-être en intéresser certains même s'il n'est pas du tout facile.

Si vous le voulez bien, on va jouer parties de pile ou face avec une pièce équilibrée en partant de 0 euro.
- si on tombe sur pile, on gagne 1 euro
- si on tombe sur face, on perd 1 euro (la banque est sympa, elle nous fait crédit)
On s'intéresse à le nombre de fin de parties où notre solde sera strictement positif ou bien redevient nul juste après avoir été strictement positif.

Que pouvez-vous dire sur : Loi de probabilités ? Espérance ? Variance ?

Je traduis la question formellement :
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes tel que
On appelle solde pour avec
On cherche le nombre d'entiers tel que ou ( et
Modifié en dernier par Kekia le 28 Jan 2022, 14:09, modifié 1 fois.
Merci aux enseignants (ou autres) qui partagent leurs connaissances reconnues par le consensus scientifique, permettent à des individus de se construire et à la société d'évoluer.



lyceen95
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Re: Encore du pile ou face

par lyceen95 » 28 Jan 2022, 13:23

Il y a 3 questions, une presque triviale, et les 2 autres où il faut quand même bien bosser.
Je vais me cantonner à la question triviale : l'espérance vaut n.
La loi de probabilité et/ou la variance : je laisse ça aux courageux.

Kekia
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Re: Encore du pile ou face

par Kekia » 28 Jan 2022, 13:37

C'est très malin de choisir sa question ;)
Je suis d'accord pour l’espérance, pour la petite histoire et le challenge, cette question a été posée au concours Schweitzer où des étudiants du supérieur ont plusieurs jours pour envoyer leur réponse.
A défaut de répondre pour tout qui est effectivement difficile, on peut déjà regarder ce qui se passe pour les premières valeurs.
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Kekia
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Re: Encore du pile ou face

par Kekia » 29 Jan 2022, 17:08

Bonjour lazare,
Visiblement tu ne sais pas non plus ce qu'est une variable aléatoire donc tu n'as pas compris la question et ta réponse est de ce fait n'importe quoi. Ce n'est pas grave de ne pas savoir, tout le monde est passé par là un jour, je te recommande la vidéo https://www.youtube.com/watch?v=krbtyBDeRqQ faite par un enseignant pour un niveau première qui explique les bases sur ces notions.
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azf

Re: Encore du pile ou face

par azf » 29 Jan 2022, 18:48

Merci Kekia car je suis une vraie catastrophe pour comprendre ces notions

Kekia
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Re: Encore du pile ou face

par Kekia » 30 Jan 2022, 12:12

Sauf que est d'après la question le nombre de lancers qui vérifient la propriété demandée parmi les lancers et pas du tout le pourcentage de lancers, pourquoi donc diviser par le total des lancers ?
Il y a l'idée correcte dans ton raisonnement mais ta réponse finale reste n'importe quoi. Corrige la éventuellement en t'aidant de ce qu'à écrit Lyceen95 et ce ne sera plus n'importe quoi.

PS : Ce n'est pas la peine de me faire des remarques sur ma façon d'échanger avec autrui, il y a des personnes qui me donnent envie de faire l'effort de m'adapter pour les faire progresser ou pour apprendre d'eux mais tu n'en fais pas parti.
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azf

Re: Encore du pile ou face

par azf » 30 Jan 2022, 13:01

lazare a écrit:Ta reponse est du nimporte quoi en terme de pedagogie. Si je te donne pas envie de faire des effort de reponse ne me répond pas.


En ce qui me concerne ce sujet m'intéresse et moi non plus je ne te répondrais plus même si le mieux que je puisse faire pour t'aider et te répondre c'est d'écrire sur mon sujet "punk machin".
Kekia fait de son mieux pour nous aider et je trouve qu'elle le fait bien.
De plus je suis trop nul en proba pour me passer de l'aide de Kekia et de tous ceux qui s'y connaissent.

Kekia
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Re: Encore du pile ou face

par Kekia » 30 Jan 2022, 13:57

Exactement, je n'ai aucune obligation envers toi lazare par contre j'ai une obligation envers moi-même de prévenir les lecteurs que tu écris n'importe quoi donc je le ferai lorsque ce sera le cas. Pour ma part, cette discussion est close.

Par contre azf si tu veux essayer de résoudre l'exercice pour n=1 ou n=2, je ferais de mon mieux pour que tu y arrives. Bon courage si tu as envie d'essayer et un grand merci à toi de faire en sorte que ce fil reste mathématiques en ne répondant plus à lazare.
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azf

Re: Encore du pile ou face

par azf » 30 Jan 2022, 14:20

Kekia a écrit:Par contre azf si tu veux essayer


Je suis surtout un lecteur de ce fil (je suis intervenu hier soir pour vous remercier car j'avais pressenti hier que Lazare allait dire ce qu'il a dit cette nuit*)
Mais je suis encore trop nul pour y participer pleinement
Pour autant:
Quelque chose me vient d'un cahier (et pas du tout de ma tête**)
Ce que vous demandez ressemble à une espérance mathématique
un aléa mathématique fini dont la loi de probabilité est


et on dirait qu'on doit calculer l'espérance

*intuition de type fantomatique
**mais alors dans ma cervelle je suis mort et vraiment merci Kekia car pour moi c'est une horreur mais un jour j'espère n'être pas trop largué avec les probas et je sais que ce sera grâce à vous en grande partie

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Re: Encore du pile ou face

par Kekia » 30 Jan 2022, 15:07

Pas vraiment, essaye peut-etre de détailler ce qui se passe avec n petit. De plus je ne sais pas à quoi tes notations correspondent, en tout cas n'oublie pas qu'une loi de proba discrète doit vérifier que la somme des probas vaut 1. Ne t'en fais pas, je pressentais aussi le comportement de Lazare.
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azf

Re: Encore du pile ou face

par azf » 30 Jan 2022, 15:15

Kekia a écrit: loi de proba discrète doit vérifier que la somme des probas vaut 1


Et mince ! Ce n'était vraiment pas réfléchi (même si j'ai dit aussi que je ne pensais pas bien à fond, ça ne m'excuse en rien)

azf

Re: Encore du pile ou face

par azf » 30 Jan 2022, 15:44

Kekia

Je vais faire les calculs
Je ne sais pas quand je reviendrai mais ma dernière réponse est vraiment n'importe quoi

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Re: Encore du pile ou face

par fatal_error » 30 Jan 2022, 19:02

Bonjour,

l'espérance de quoi?
et loi de probabilité de quoi?

Sinon on peut calculer
on nomme A et B le nombre de lancers gagnants resp. perdant
on a
et
et dans le cas "valide" où le solde est 0, on a
et

idem

edit: en réfléchissant un peu plus j'ai dû mal comprendre l'énoncé, car par symétrie pour terminer en 0 j'ai autant de chance d'être au lancer 2n-1 avec un solde 1 qu'un solde -1, donc la proba que N_{2n} soit valide(str positif, ou positif "par au dessus) vaut 1/2 (ou si on s'intéresse juste au nombre de lancers valides, ben 2^{2n-1})
la vie est une fête :)

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Re: Encore du pile ou face

par Kekia » 30 Jan 2022, 21:00

Bonjour fatal_error et merci de ta participation

j'ai du mal à voir où tu veux en venir, je le repete est le nombre de fois où le solde est strictement positif ou devient nul par au-dessus comme tu dis. Par définition il est donc toujours supérieur ou égal à 0.
Mais tu as raison par symétrie il est évident que , c'est exactement ce qu'à affirmer à juste titre lyceen95.
Par contre pour trouver la loi de probabilités et la variance, il va quand même falloir trouver les valeurs avec les probabilités associées, en tout cas, je ne sais pas faire autrement

Exemple pour , il y a 4 tirages équiprobables :
Pile Pile (autrement dit ) donc les soldes sont et ce qui donne
Pile Face (autrement dit ) donc les soldes sont et ce qui donne
Face Pile (autrement dit ) donc les soldes sont et ce qui donne
Face Face (autrement dit ) donc les soldes sont et ce qui donne

Au final, on trouve ainsi que ce qui nous donne la loi de probabilités et permet de vérifier



A vous de jouer pour ou plus si affinités mais pas de panique, c'est un problème destiné à un concours du supérieur, c'est normal que ce soit "difficile"

Si vous voulez un indice, je peux vous donner le résultat à démontrer
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Re: Encore du pile ou face

par fatal_error » 30 Jan 2022, 21:41

ok c'est plus clair, merci
la vie est une fête :)

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Re: Encore du pile ou face

par lyceen95 » 30 Jan 2022, 22:51

Il me semble qu'il y a une histoire de log dans le calcul de la variance.

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Re: Encore du pile ou face

par Kekia » 31 Jan 2022, 01:24

Et pourtant la formule qui donne la variance est assez simple, je l'écris en blanc pour ne pas divulgâcher n(n+1)/2
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Re: Encore du pile ou face

par lyceen95 » 31 Jan 2022, 11:31

Je corrige mon message :
Le calcul de la variance, c'est la somme des carrés des écarts à la moyenne ...ok
Mais il me semble avoir déjà vu passer cet exercice, et je crois me souvenir qu'on finissait par arriver à une formule à base de logarithmes.
Sans certitude. Il y a tellement d'exercices possibles autour des tirages de pile ou face, des retours à l'équilibre...

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Re: Encore du pile ou face

par Kekia » 31 Jan 2022, 13:28

Honnêtement, le logarithme je ne vois pas mais il y a surement des exercices qui s'en servent, je n'en doute pas.
De toute façon, autant commencer par chercher la loi de probas et si on ne veut pas le faire soi-même, on peut chercher du coté de la "loi de l'arcsinus pour les temps de séjour"
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Re: Encore du pile ou face

par GaBuZoMeu » 31 Jan 2022, 19:35

Un document où l'on parle de ça :
https://math.uni.lu/eml/projects/reports/contignon-leite.pdf
Mais ça ne dit pas comment on arrive au résultat pour le temps de séjour (c'est juste démontré pour le dernier retour).

 

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