Diviseurs de zéro

[Nightmare]

Hello

je repose les questions posées dans [url="http://www.maths-forum.com/structures-algebriques-115719.php"]ce fil[/url] qui restent pour le moment sans réponse.

Sauriez-vous trouver un anneau non commutatif :

1) Sans diviseurs de zéro et qui n'est pas un corps

2) même chose avec la condition fini en plus

J'ai une petite idée pour la 1), aucune pour la 2)

[Ben314]

Salut,
Pour le 1), il me semble que les "quaternions entiers", c'est à dire les matrices de la forme où donnent un exemple interessant d'anneau intègre non commutatif.

[Ben314]

Pour le 2), si A est intègre, alors pour tout a non nul, les applications x->ax et x->xa sont injectives.
Si de plus A est fini, elles sont forcément bijectives donc il existe a' et a" tels que aa'=1 et a"a=1.
De plus, a'=1a'=(a"a)a'=a"(aa')=a"1=a".

[benekire2]

Salut !

Perso c'est l'inverse de toi , le 2 est assez simple (enfin je crois) c'est la même preuve avec les mêmes applications que ben cite , que j'ai misent dans le poste de Qmath. Pour la 1 , trouver l'exemple me paraissait chaud , mais ben fut , hélas , trop rapide :ptdr: