Recherche de diviseurs mentalement

[nodjim]

Bonsoir à tous.
Pour des nombres de 4 chiffres, je sais trouver mentalement les facteurs premiers.
Je n'ai aucune disposition particulière pour le calcul mental.
Je ne fais aucune division à retenue, méthode mentale pas très aisée.
Je n'applique pas le PGCD entre 1 nombre premier et le nombre à décomposer. Ce serait d'ailleurs assez long.
Je connais seulement les nombres premiers jusqu'à 100. Je sais faire des petites multiplications (1 chiffre avec 2 chiffres).
A ma place, comment feriez vous ?
Avez vous personnellement des méthodes efficaces ?

[Sve@r]

Désolé. Je viens de faire un petit autotest avec 9836. Ok, j'arrive facilement à 2 x 4918 puis 2 x 2 x 2459 mais à partir de là...

Conclusion: t'as des dispositions pour ça.

Moi de mon coté, j'arrive à élever mentalement et assez rapidement n'importe quel nombre à 2 chiffres au carré. Exemple 78². Pour ça, je ramène à la dizaine la plus proche soit 80. Or, pour aller de 78 à 80 j'ai ajouté 2 donc de l'autre coté j'enlève 2 et je calcule alors 76 * 80 soit, plus facilement, 76 * 8. Un petit effort (6*8 = 48 donc 8 et 4 de retenue puis 8*7 = 56 + 4 = 60) et je trouve rapidement 608. Plus un zéro car c'était 80 et pas 8 soit 6080.

Or comme en ayant calculé (78 + 2) * (78 - 2) j'ai en fait calculé 78² - 2², il ne me reste plus qu'à ajoute 2² pour trouver le bon résultat soit 6084.

[nodjim]

Non, je répète aucune disposition. Je suis très moyen en calcul mental. C'est une donnée du problème.
2459 par exemple n'est pas divisible par 3, 7, ni par 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. C'est un nombre premier. J'aurais bien voulu tomber sur un produit, c'est plus valorisant!
Sinon, oui, je sais diviser par 2. Et je suis parfois obligé de m'en servir.

[nodjim]

Moi de mon coté, j'arrive à élever mentalement et assez rapidement n'importe quel nombre à 2 chiffres au carré. Exemple 78². Pour ça, je ramène à la dizaine la plus proche soit 80. Or, pour aller de 78 à 80 j'ai ajouté 2 donc de l'autre coté j'enlève 2 et je calcule alors 76 * 80 soit, plus facilement, 76 * 8. Un petit effort (6*8 = 48 donc 8 et 4 de retenue puis 8*7 = 56 + 4 = 60) et je trouve rapidement 608. Plus un zéro car c'était 80 et pas 8 soit 6080.

Or comme en ayant calculé (78 + 2) * (78 - 2) j'ai en fait calculé 78² - 2², il ne me reste plus qu'à ajoute 2² pour trouver le bon résultat soit 6084.

Pas mal. Je n'ai pas de méthode pour les carrés à 2 chiffres. C'est facile pour ceux qui se terminent par 0 ou 5, j'ai tendance à faire n²+2n+1 ou n²-2n+1 pour les autres, ou alors à calculer en direct.

[Sve@r]

J'aurais bien voulu tomber sur un produit, c'est plus valorisant!

Ok, que penses-tu de 8177 ? Mais je me dois quand-même de t'avouer que j'ai construit ce nombre moi-même en essayant de le faire bien difficile....

[nodjim]

C'est divisible par 13. 629fois.
629 est divisible par 17. 37 fois.
8177=13*17*37
13 et 17 sont des petits facteurs premiers, le sens logique du test est de commencer par eux. Ce n'est donc pas long à décomposer.
ça m'aurait pris bien plus de temps s'il avait fallu tester jusqu' 97!
Le plus long est de chercher le facteur premier, mais c'est une opération qui n'est pas compliquée, donc peu soumise à erreur. Là où c'est plus délicat, c'est de trouver le quotient. C'est là où l'erreur peut survenir.

[Sve@r]

C'est divisible par 13. 629fois.
629 est divisible par 17. 37 fois.
8177=13*17*37

Exact. C'était effectivement ce que j'ai fait pour construire le nombre

13 et 17 sont des petits facteurs premiers, le sens logique du test est de commencer par eux. Ce n'est donc pas long à décomposer.

Oui mais bon, t'as dû quand-même tester 7, 11. Ok, 13 est rapidement trouvé...

ça m'aurait pris bien plus de temps s'il avait fallu tester jusqu' 97!

J'y ai pensé. Mais tu avais dit "nombre à 4 chiffres" et si je montais trop haut j'atteignais rapidement 5 chiffres...

Le plus long est de chercher le facteur premier, mais c'est une opération qui n'est pas compliquée, donc peu soumise à erreur.

Mouais. Et donc si je te donne 3763 ???

[nodjim]

53*71, mais là j'ai triché car l'exercice mental n'est pas sans effort et à cette heure c'est un peu dur.
Je dévoile l'astuce:
Si le nombre est pair ou divisible par 5 ou 3 c'est connu, là pas de soucis. Donc on le ramène à un nombre qui n'est divisible ni par 3 ni par 5 ni par 2.
Il finit par 1, 3 ,5 ou 7. Les nombres premiers autres que 2 et 5 aussi. Le 3 on a vu.
Si le nombre premier et le nombre à tester finissent par la même unité, je fais une soustraction. Le résultat finit par 0, qu'on peut retirer. Si le nombre premier et le nombre à tester finissent par 2 nombres opposés modulo 10, je fais une addition, et là encore le résultat finit par 0 que je retire.
Si le nombre à tester et le nombre premier ne finissent pas par la même unité, et si ces unités ne sont pas des opposés modulo 10, je multiplie le nombre premier par 3, et je retombe dans le cas précédent. Alors j'additionne ou je retranche selon le cas.
Par exemple ce 3763. est il divisible par 7 ? J'additionne: 3770, j'ôte le 0, 377, je retranche, 370, j'ôte le 0, 37 qui est premier. 3763 n'est pas divisible par 7.
Est il divisible par 13? Je retranche:3763-13=3750, donc 375, divisible par 75, donne 5, c'est fini, 3763 n'est pas divisible par 13.
3763 est divisible par 19 ?
3763+57 (3*19)=3820 donc 382 donc 191, 191+19=210 donc 21 pas divisible par 19.

[aurelhox]

Moi de mon coté, j'arrive à élever mentalement et assez rapidement n'importe quel nombre à 2 chiffres au carré. Exemple 78². Pour ça, je ramène à la dizaine la plus proche soit 80. Or, pour aller de 78 à 80 j'ai ajouté 2 donc de l'autre coté j'enlève 2 et je calcule alors 76 * 80 soit, plus facilement, 76 * 8. Un petit effort (6*8 = 48 donc 8 et 4 de retenue puis 8*7 = 56 + 4 = 60) et je trouve rapidement 608. Plus un zéro car c'était 80 et pas 8 soit 6080.

Or comme en ayant calculé (78 + 2) * (78 - 2) j'ai en fait calculé 78² - 2², il ne me reste plus qu'à ajoute 2² pour trouver le bon résultat soit 6084.

J'aime bien !

Moi par contre j'ai une formule toute rigolote pour les carrés
Dans ton exemple tu prends 78, reprenons 78 alors et le fameux 80.
Considérons que a est le nombre qu'on élève au carré et b, l'arrondi le plus proche. On appelera la différence entre b et a = 'n'.
soit a=78 / b=80 / n=2
fonctionne aussi avec a=78 / b=70 / n=-8

La formule
a²=b²-((a*n/2)*2n)

Un peu d'entrainement et ça va tout seul après :we:

[Sve@r]

53*71, mais là j'ai triché car l'exercice mental n'est pas sans effort et à cette heure c'est un peu dur.
Je dévoile l'astuce:
Si le nombre est pair ou divisible par 5 ou 3 c'est connu, là pas de soucis. Donc on le ramène à un nombre qui n'est divisible ni par 3 ni par 5 ni par 2.
Il finit par 1, 3 ,5 ou 7. Les nombres premiers autres que 2 et 5 aussi. Le 3 on a vu.
Si le nombre premier et le nombre à tester finissent par la même unité, je fais une soustraction. Le résultat finit par 0, qu'on peut retirer. Si le nombre premier et le nombre à tester finissent par 2 nombres opposés modulo 10, je fais une addition, et là encore le résultat finit par 0 que je retire.
Si le nombre à tester et le nombre premier ne finissent pas par la même unité, et si ces unités ne sont pas des opposés modulo 10, je multiplie le nombre premier par 3, et je retombe dans le cas précédent. Alors j'additionne ou je retranche selon le cas.
Par exemple ce 3763. est il divisible par 7 ? J'additionne: 3770, j'ôte le 0, 377, je retranche, 370, j'ôte le 0, 37 qui est premier. 3763 n'est pas divisible par 7.
Est il divisible par 13? Je retranche:3763-13=3750, donc 375, divisible par 75, donne 5, c'est fini, 3763 n'est pas divisible par 13.
3763 est divisible par 19 ?
3763+57 (3*19)=3820 donc 382 donc 191, 191+19=210 donc 21 pas divisible par 19.

Bon, j'ai été méchant car il suffit que tu donnes ta méthode pour que je cherche évidemment un nombre très difficile pour cette méthode d'où le fameux 53 * 71. Parce qu'avant que tu arrives à 53...

Mais sinon j'aime bien. C'est le genre de trucs qui font plaisir à lire....

J'aime bien !

Moi par contre j'ai une formule toute rigolote pour les carrés
Dans ton exemple tu prends 78, reprenons 78 alors et le fameux 80.
Considérons que a est le nombre qu'on élève au carré et b, l'arrondi le plus proche. On appelera la différence entre b et a = 'n'.
soit a=78 / b=80 / n=2
fonctionne aussi avec a=78 / b=70 / n=-8

La formule
a²=b²-((a*n/2)*2n)

Un peu d'entrainement et ça va tout seul après :we:

Euh... a*n/2 * 2n ça fait a*n² non ???

[Le Chaton]

Bonjour,
pour calculer un carré tu fais comme ça non ?

78²=(80-2)²=80²-4*80+4=6400-320+4=6084
( comme tu t'amènes à chaque fois à des multiples de 10 ça revient à calculer 8² et 4*8 et de faire une petite soustraction )

[Sve@r]

Bonjour,
pour calculer un carré tu fais comme ça non ?

78²=(80-2)²=80²-4*80+4=6400-320+4=6084

T'as utilisé (a-b)².
Je préfère utiliser (a-b)(a+b) et calculer 76*80=6080. Et, ayant calculé en fait 78²-2² il ne me reste qu'à rajouter en dernier le 2² qui me manque...

[vincentroumezy]

Moi he fais comme ca, mais je suis un bourrin:
78² = (70+8)(70+8) =70²+16*70+8² = 4900+10*70+6*70+64 = 4900+700+420+64 = 6084

[aurelhox]

Bon, j'ai été méchant car il suffit que tu donnes ta méthode pour que je cherche évidemment un nombre très difficile pour cette méthode d'où le fameux 53 * 71. Parce qu'avant que tu arrives à 53...

Mais sinon j'aime bien. C'est le genre de trucs qui font plaisir à lire....



Euh... a*n/2 * 2n ça fait a*n² non ???

Oups :/ c'est (a+n/2) * 2n et pas (a*n/2) * 2n
Donc si on remplace ça fait 6400 - (79*4) = 6084
easy non ?

[emcee]

bonjour

juste pour l'anecdote, j'ai beaucoup utilisé cette technique de détermination des facteurs premiers sur le chemin du lycée, en l'appliquant aux numéros des plaques d'immatriculation (ancienne version, à 4 chiffres - 2 lettres - département), pour faire passer le temps du trajet à pied ... Je ne sais pas si nodjim a le même passe temps ...

Bref, tout ça m'amenait - et m'amène toujours - à considérer que des nombres comme 377 (13*29) ou 2773 (47 * 59) etc., qui se décomposent en "petits" facteurs premiers sont plus simples, ou plus beaux, que par exemple 6081 qui est bêtement 3 * 2027 et pas mieux.
Existe t il à votre connaissance une relation d'ordre sur N qui classe les entiers en fonction de la simplicité de leurs facteurs premiers ? Les éléments minimaux seraient probablement les nombres premiers, puis leurs puissances, etc ...

[nodjim]

bonjour

juste pour l'anecdote, j'ai beaucoup utilisé cette technique de détermination des facteurs premiers sur le chemin du lycée, en l'appliquant aux numéros des plaques d'immatriculation (ancienne version, à 4 chiffres - 2 lettres - département), pour faire passer le temps du trajet à pied ... Je ne sais pas si nodjim a le même passe temps ...

Bref, tout ça m'amenait - et m'amène toujours - à considérer que des nombres comme 377 (13*29) ou 2773 (47 * 59) etc., qui se décomposent en "petits" facteurs premiers sont plus simples, ou plus beaux, que par exemple 6081 qui est bêtement 3 * 2027 et pas mieux.
Existe t il à votre connaissance une relation d'ordre sur N qui classe les entiers en fonction de la simplicité de leurs facteurs premiers ? Les éléments minimaux seraient probablement les nombres premiers, puis leurs puissances, etc ...

Ben oui, les plaques des voitures sont des bons exercices, et oui il m'arrive assez souvent de chercher les facteurs premiers.
Il faudrait que tu précises ta relation d'ordre "en fonction de la simplicité".

[emcee]

bonjour

en gros l'idée qui me poussait à chercher une telle relation d'ordre (notons la £) part du constat suivant :
1) chercher mentalement les diviseurs d'un nombre N demande un certain travail compliqué (test de divisibilité avec tous les nombres premiers, en utilisant astucieusement des divisions par 10 comme tu l'as montré).
2) Ce travail est complètement vain lorsqu'on constate finalement faire affaire à un nombre premier ... on a usé nos tables de division pour rien,
3) par contre on est "récompensé" quand on tombe sur le produit de deux nombres premiers proches, c'est à dire quand on pensait sérieusement que N était premier, et qu'on tombe sur 59*61 par exemple (enfin qqn d'exercé décompose 3599 assez rapidement je pense, mais c'est pour l'exemple).

Du coup j'essayais de trier les nombres en fonction de leur aptitude à nous récompenser, au sens défini ci dessus.

J'imagine assez bien qu'on n'obtiendra jamais que N avec cette relation £ soit un "ensemble bien ordonné", ie que deux entiers soient toujours comparables (tous les nombres premiers sont, de ce point de vue là, équivalents ; de même que les nombres pairs doubles d'un nombre premier, etc.) mais on doit quand même réussir à définir un treillis (ie pour tout x,y ; il existe M tel que x £ M et y £ M et il existe m tel que m £ x et m £ y), ou au pire un demi treillis ...

Voilà où en sont mes réflexions, dites moi si c'est du chinois, ou si ça n'a aucun intérêt ... m'vexerai pas !

[nodjim]

Si tu trouves que c'est une récompense un nombre qui est facteur de 2 gros premiers, c'est parce que ta méthode de recherche part du plus petit premier vers les plus gros, et qu'en effet, plus ta recherche avance, et plus les chances de décomposition sont réduites. Mais d'autres méthodes de recherche existent, et 2 nombres premiers qui seraient proches pourraient être vite découverts si tu recherches une différence de 2 carrés (car tout produit est différence de 2 carrés).
Il n'y a pas de miracle pour chercher une décomposition, et c'est très difficile pour les grands nombres. Actuellement, on sait à peu près décomposer un nombre de 100 chiffres, plus même. Mais ce sera toujours plus facile de faire la multiplication de 2 premiers que l'inverse. RSA n'est pas près d'être détrôné.