Enigme : Les diviseurs d'un entier naturel

[MJoe]

Énigme : Les diviseurs d'un entier naturel

Bonjour à tous,

Définition :
En mathématiques, un diviseur strict d'un entier naturel N est un entier naturel diviseur de N et distinct de N.

Par exemple, les diviseurs stricts de 6 sont {1;2;3}. On remarque que 6 est égal au produit de ses diviseurs stricts. C'est le cas également pour 8 qui possède 3 diviseurs stricts {1;2;4}.

Question :
Quel est le plus petit entier naturel pair supérieur à 2000 qui est égal au produit de ses diviseurs stricts ?

Nota : Cette énigme demande l'écriture d'un petit programme (calculatrice ou PC (ou Mac)).

MJoe.

[Arbre]

Salut,

Peut-être 2^11 ?

édit : cela ne marche pas il manque 1, et pour ton exemple 8 également.

Cordialement.

[MJoe]

Bonjour @Arbre et bonjour à tous,

Les diviseurs stricts de 8 sont : {1;2;4} et 1*2*4 = 8, donc ça marche.

MJoe.

[Arbre]

A désolé je pensais que tu parlais de somme et non de produit.

2005=5*401, il suffit que le nombre soit RSA éligible (multiple de 2 entiers premiers).

[zygomatique]

salut

si p et q sont deux nombres premiers distincts alors n = pq = 1 * p * q est produit de ses diviseurs stricts

si n = p^2q alors le produits de ses diviseurs stricts est 1 * p * q * p^2 * pq <> n

si n = pqr où r est aussi un nombre premier alors le produit de ses diviseurs stricts est 1 * p * q * r * pq * pr * qr <> n

...

si n est pair alors ...

[MJoe]

A désolé je pensais que tu parlais de somme et non de produit.

2005=5*401, il suffit que le nombre soit RSA éligible (multiple de 2 entiers premiers).

Bonjour @Arbre,

Mais 2005 n'est pas un entier naturel pair.

MJoe.

[Arbre]

Autant pour moi : 2018

Les puissances 3 de nombres premiers marchent également, mais je ne sais pas si ce sont les seuls possibilités.

[MJoe]

Bonjour @Arbre



2018 est une bonne réponse : les diviseurs stricts de 2018 sont {1;2;1009}.

MJoe.

[chan79]

salut
Les diviseurs stricts ne seraient-ils pas toujours {1,2,n/2} dans ce cas ?
Les valeurs de n qui conviennent sont les doubles de nombres premiers, ainsi que 8.

[zygomatique]

salut

si p et q sont deux nombres premiers distincts alors n = pq = 1 * p * q est produit de ses diviseurs stricts

si n = p^2q alors le produits de ses diviseurs stricts est 1 * p * q * p^2 * pq <> n

si n = pqr où r est aussi un nombre premier alors le produit de ses diviseurs stricts est 1 * p * q * r * pq * pr * qr <> n

...

si n est pair alors ...

...

[MJoe]

Bonjour à tous,

salut
Les diviseurs stricts ne seraient-ils pas toujours {1,2,n/2} dans ce cas ?
Les valeurs de n qui conviennent sont les doubles de nombres premiers, ainsi que 8.

Oui il me semble que pour N pair, les diviseurs stricts qui conviennent sont 1, 2, et N/2.

MJoe.

[Manukantic]

Bonjour à tous,
J'aimerai avec Excel intégrer une formule ou un algorithme pour connaitre le nombre de diviseur d'un entier.
J'ai essayé le code de ce lien mais je n'ai pas compris son fonctionnement : http://ressourcesexcel.blogspot.fr/2016 ... ntier.html

Si quelqu'un peut m'éclairer sur le sujet
Merci

[MJoe]

Bonjour @Manukantic et bonjour à tous,

Je vous ai fabriqué un petit programme VBA pour Excel.
Il suffit juste de copier/coller ce code dans l'éditeur VBA d'Excel :

Code: Tout sélectionner

Sub NombreDeDiviseurs()
 Dim B As Integer
   
     B = Application.InputBox("Entrer un entier naturel", "Votre entier :", Type:=1)
   
    Range("A1").Select
   
    N = 0
    For i = 1 To B
        If B Mod i = 0 Then
        N = N + 1
        End If
    Next
   
     ActiveCell.Offset(0, 1).Value = N
End Sub


Ce code VBA affiche une boîte de dialogue pour demander la valeur de l'entier naturel puis le code suivant détermine le nombre N de diviseurs et enfin la ligne" ActiveCell.Offset(0, 1).Value = N" affiche le résultat dans la cellule voisine de celle qui était active avant d'appeler le Sub "NombreDeDiviseurs()".

Deuxième point : comment transformer cette procédure "Sub" en fonction "Function" Excel. J'ai fait une vidéo pour expliquer en détails comment faire. Ce sera plus parlant que de vouloir écrire toutes les étapes dans ce post (ouverture de l'éditeur VBA, création de la fonction et des arguments puis insertion dans une cellule Excel).
La fonction permettra de saisir directement la valeur de l'entier naturel sans boîte de dialogue. Il faudra donc effacer la ligne "Application.InputBox" ci-avant.
Voici le lien vers ma vidéo.

Pour finir, voici un second code source pour afficher tous les diviseurs dans une feuille Excel (colonne A) :

Code: Tout sélectionner

 Sub ListeDesDiviseurs()
 Dim B As Integer
   
 
    B = Application.InputBox("Entrer un entier naturel", "Votre entier :", Type:=1)
   
    Range("A1").Select
   
    N = 0
    For i = 1 To B
        If B Mod i = 0 Then
        ActiveCell.Value = i
        ActiveCell.Offset(1, 0).Select
        N = N + 1
        End If
    Next
   
     ActiveCell.Offset(0, 1).Value = N
 End Sub


Il faut faire "tourner" ces codes pour mieux comprendre ce qu'ils font.
N'hésitez pas si vous avez d'autres questions.

MJoe.

[MJoe]

Suite :
Après avoir visionné la vidéo, vous pouvez saisir cette fonction personnalisée Excel qui renvoie directement la nombre de diviseurs d'un nombre dans une cellule donnée :

Code: Tout sélectionner

Function NB_Diviseurs(B As Integer) As Integer
    N = 0
    For i = 1 To B
        If B Mod i = 0 Then
        N = N + 1
        End If
    Next
    NB_Diviseurs = N

End Function


Pour mieux visualiser, voici les captures d'écran de cette fonction personnalisée en situation :
Capture d'écran de la fonction "en situation" dans une feuille Excel :

420 a 24 diviseurs :
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 10. 12. 14. 15. 20. 21. 28. 30. 35. 42. 60. 70. 84. 105. 140. 210. et 420.

Capture d'écran de l'éditeur VBA d'Excel :


MJoe.

[Manukantic]

Super, Merci beaucoup MJoe.
Grace a la vidéo et à la capture d'écran j'ai réussi a obtenir le nombre de diviseur, en ce qui concerne la liste des diviseurs ça fonctionne mais je dois effacer les résultats à chaque fois ...
si je prends : 4, en A1;1 , A2;2 , A3;4
ensuite
si je prends : 2, en A1;1 , A2;2 ... et reste le diviseur de 4 en A3;4
En bref les résultat se superpose

Manukantic

[MJoe]

Bonjour @Manukantic et bonjour à tous,

Pour effacer le contenu des cellules de la colonne A, il faut ajouter ces lignes de codes VBA :

Code: Tout sélectionner

    Application.ScreenUpdating = False
    With Range("A1:A1000")
        .ClearContents
    End With


Cela donne donc le nouveau code source suivant :

Code: Tout sélectionner

Sub ListeDesDiviseurs()
 Dim B As Integer
   
 
    B = Application.InputBox("Entrer un entier naturel", "Votre entier :", Type:=1)
   
    Application.ScreenUpdating = False
    With Range("A1:A1000")
        .ClearContents
    End With
    Range("A1").Select
   
    N = 0
    For i = 1 To B
        If B Mod i = 0 Then
        ActiveCell.Value = i
        ActiveCell.Offset(1, 0).Select
        N = N + 1
        End If
    Next
   
     ActiveCell.Offset(0, 1).Value = N
 End Sub



Voilà, cela évitera d'avoir des résultats qui restent affichés.

MJoe.

[Manukantic]

Bonjour @MJoe, merci c'est Nickel !

[MJoe]

Super !
Ces bouts de code pourront peut-être servir également à d'autres lecteurs de ces posts.

MJoe.