Je propose aux lycéens de réfléchir à l'exercice suivant :
Notonsl'espace des points à n coordonnées réelles (pour n=2 c'est le plan usuel, pour n=3 l'espace usuel).
1) Qu'est-ce qu'une boule de rayondans
cette boule.
2) Notonsle volume de
3) Donner une expression "simple" (j'insiste sur les guillemets) de
Remarques
Ce n'est pas de tout repos.
L'énoncé brut "étudier le volume de la boule d'un rayon donné en dimension n" a été donné à l'oral de polytechnique. Le candidat est alors amené à calculer ce qu'on appelle une intégrale multiple qui permet de définir proprement la notion de volume en dimension supérieure à 3, et arriver au résultat demandé dans ma question 3).
Ici, sans connaissance de cette notion d'intégrale multiple, il est tout de même possible de se faire une idée de ce que pourrait être cette notion de volume, et c'est avec cette même idée qu'on arrive à la formule de la question 2). Pour cela, examiner ce que signifie géométriquement cette identité pour n=3, notez en passant le nom que j'ai donné à ma variable d'intégration qui n'est pas anodin.Grossièrement, on pourra faire un lien avec les sommes de Riemann, à savoir une surface qu'on calcule comme somme infinie de rectangles.
Pour finir, la question 3) est calculatoire, en malaxant l'identité du 2), on retombera sur une intégrale bien connue des taupins, mais que les lycéens qui auront eu le courage de s'attaquer à cet exercice connaissent surement aussi, l'étude du maximum et du comportement asymptotique n'est pas difficile, son résultat par contre a le mérite d'être remarquable.
Bon courage.
:happy3:
