Complexes a et b

[Hannaut]

Yo

A quelle condition la suite z(n+1) = a zn + b est elle périodique au bout d'un certain rang ?

PS : a et b complexes.

[Imod]

C'est un défi ?

Imod

[bauzau]

(tout est à partir d'un certain rang N, pour tout n>N)

(Zn) periodique

<=> il existe p tel que pour tout n>N z(n+p)=zn

<=> a(zn+p-1)+b=zn

<=> a(a(z(n+p-2)+b)+b=zn

...

<=> a^pzn+b*a^p-1+b*a^p-2+...+ab+b=zn

<=> [(a^p)-1]zn+b[a^(p-1)+...+a²+a+1]=0

<=> [1-(a^p)]zn=b[1-a^(p-1)]/(1-a)

<=> zn=b/(1-a)

autrement dit (zn) periodique => (zn) constante à partir d'un certain rang

vous voyez une erreur?

(je n'ai pas vérifié les conditions de divisions et factorisations à chaque etape)

[nuage]

Salut,
il y a certainement une erreur car la suite définie par
et est périodique et non constante.

[SaintAmand]

A quelle condition la suite z(n+1) = a zn + b est elle périodique au bout d'un certain rang ?

Si , la suite est géométrique ssi .

Si , alors la suite de terme général est une suite géométrique de raison .

En conclusion, la suite est périodique à partir d'un certain rang si et seulement si et (suite constante) ou est une racine p-ième de l'unité avec (suite -périodique)