Le mystere des racines complexes

[El_Gato]

Salutations à toutes et à tous

Soit le plan complexe auquel on a retiré le segment réel : .
1) Existe-t-il une fonction dérivable (au sens complexe) f sur telle que ?
2) Existe-t-il une fonction dérivable (au sens complexe) g sur telle que ?

Conclusion: que penser de l'extension à de la relation, vraie pour les réels strictement positifs: ?

[El_Gato]

Alors, on sèche ?

Un indice pour la première question: si f existait, alors, pour tout circuit fermé dont l'image est incluse dans , on devrait avoir .

[jose_latino]

Bonjour,
Si nous supposons que cette fonction existe, ça veut dire: il y a une fonction holomorphe sur , telle que , en dérivant:
, en remplaçant: , mais, si :

Alors, cette fonction n'existe pas.

[El_Gato]

Bonjour,
Si nous supposons que cette fonction existe, ça veut dire: il y a une fonction holomorphe sur , telle que , en dérivant:
, en remplaçant: , mais, si :

Alors, cette fonction n'existe pas.

Vaya hombre ! Bravo c'est cela. Félicitations, jose. Et maintenant la question 2. Indice: s'inspirer de la question 1.

[jose_latino]

En modification...

[El_Gato]

... alors est holomorphe aussi,

Non, car on ne sait pas si g' est holomorphe. En fait, il faut montrer que g existe bien, et c'est là qu'est tout le mystère des racines complexes...

[El_Gato]

Indice pour le 2:

Comme l'a montré jose_latino pour la question 1, si est un circuit quelconque dans et , alors
.

[jose_latino]

Si est holomorphe, est holomorphe aussi, mais je me suis trompé. Il faut montrer que est la dérivative d'une fonction. Je me suis trompé. :marteau:

[El_Gato]

Si est holomorphe, est holomorphe aussi, mais je me suis trompé. Il faut montrer que est la dérivative d'une fonction. Je me suis trompé. :marteau:

Oui moi aussi Ich habe fait une grosse error !

[jose_latino]

Pour l'exercice 2, nous supposons que telle fonction existe.
Soit holomorphe, telle que , pour tous et (logarithme local). On va comparer et définite par: . Cettes fonctions coïncident sur , alors elles coïncident sur l'intersection de ses domains, ça veut dire, sur . Il suffit montrer que le limite n'existe pas. Et pour vérifier ça, il suffit de prendre les suites et

[El_Gato]

Pour l'exercice 2, nous supposons que telle fonction existe.
Soit holomorphe, telle que , pour tous et (logarithme local). On va comparer et définite par: . Cettes fonctions coïncident sur , alors elles coïncident sur l'intersection de ses domains, ça veut dire, sur . Il suffit montrer que le limite n'existe pas. Et pour vérifier ça, il suffit de prendre les suites et

La fonction est une racine carrée de sur le domaine simplement connexe . Une telle racine carrée existe bien puisque le domaine en question est simplement connexe. Mais cela ne répond pas à la question puisque tout le problème est justement que n'est pas simplement connexe (c'est bien pour cela qu'il n'y a pas de logarithme pour sur ).

De plus, ton argument ne fonctionne pas puisque n'est pas un domaine d'unicité pour des fonctions analytiques. Le fait que deux fonctions coincident dessus ne signifient pas qu'elles coincident partout ailleurs.

En fait la fonction g existe bien. On la construit comme ceci:
puisque, pour tout circuit dont l'image est incluse dans on a , l'expression
ne dépend pas du chemin dans joignant à w. Cette fonction g répond à la question.

Conclusion: La possibilité d'avoir un log ou une racine carrée dans le plan complexe dépend de la topologie de l'ouvert sur lequel on se place. Quand cet ouvert est simplement connexe, il n'y a pas de problème, racine et log existent et sont liées par la relation bien connue. Mais sur certains ouverts, non simplement connexes, il peut y avoir une racine et pas de log à une fonction analytique. On a plus alors de relation simple entre les deux. Mais ce qui est bizarre, c'est que, dans ce dernier cas, la construction de la racine carrée ressemble quand même à l'exponentielle du log, comme on le voit ci-dessus. Tout cela est assez curieux.