Combinatoire

[MMu]

Trouver la fonction ( entiers > 0) telle que :

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, (partie entière) où est le "nombre d'or".

[MMu]

C’est vrai, mais pourquoi ?

[Ben314]

Si on prend tes deux égalités équivalent respectivement (après de mini calculs) à et qui sont vraies vu que (avec des inégalités strictes car ).

Et pour montrer que c'est l'unique solution, il suffit de dire que, si pour tout alors pour ces là, on a ou donc est un ou (inclusif) un donc au moins une des deux formules donne la valeur de : il n'y a donc pas le choix.

[MMu]

Désolé , je n’ai pas été clair , ma question était comment on arrive à la solution .. mais peut être ce n’est pas important ..

[Ben314]

Perso, j'ai commencé par me dire que la fonction cherchée devait être proche d'une fonction réelle telle que qui admet une solution linéaire évidente, à savoir avec . Ensuite, j'ai regardé l'écart entre et pour les premières valeurs entières (avec un tableur) et conjecturé le résultat.

[catamat]

En plus (beaucoup plus) bourrin on peut chercher les premiers termes (une bonne vingtaine) puis voir si cela figure dans l'encyclopédie des suites OEIS
et on trouve :
https://oeis.org/A000201
On voit que cette suite intervient dans pas mal de situations pour ceux qui maitrisent l'anglais et les maths...

[Ben314]

Cette suite, je la connaissait aussi du fait du théorème de je-sais-plus-qui qui dit que si sont deux irrationnels >0 alors les parties entières de et donnent une partition de .
Donc, vu que les termes qui ne sont pas dans ta suite (f(n)), c'est les parties entières de , c'est à dire en fait, les n+f(n) : tout entier naturel non nul est un f(n) ou (exclusif) un n+f(n).

[MMu]

@ Ben314 : il s’agit du théorème de Beatty ...

[Ben314]

Tient, à titre de mini énigme :
Est-ce la seule fonction de telle que tout soit un ou (exclusif) un ?

[MMu]

Il me semble que ce n’est pas la seule.
La fonction vérifie bien la demande si j’ai bien compris la question ..

[Ben314]

La question, c'est ça :
Déterminer toutes les fonctions telles que les deux ensembles et forment une partition de . (Donc constante, ça ne marche pas du tout.)

[MMu]

La question, c'est ça :
Déterminer toutes les fonctions telles que les deux ensembles et forment une partition de . (Donc constante, ça ne marche pas du tout.)

Il y a là une subtilité que je ne saisis pas , puisque pour (costante) on obtient bien la partition

[Ben314]

Oui, c'est effectivement moi qui suis complètement à coté de la plaque : dans ma tête, B était aussi fini . . .

[catamat]

La question, c'est ça :
Déterminer toutes les fonctions telles que les deux ensembles et forment une partition de .

Bonjour
Si on prend f définie sur par
B est l'ensemble des entiers pairs non nuls et A celui des entiers impairs

mais il doit y en avoir d'autres...

[Ben314]

Oui, j'ai l'impression que, tel quel, l'énoncé laisse trop de liberté. Peut-être rajouter "f injective", voire "f strictement croissante" rendrait le truc plus intéressant.