Combinatoire

[benekire2]

Bonjour a tous !

Petit exercice a vous proposer - parce qu'il est beau :

Soit . Combien de carrés entiers ( i.e des carrés dont les sommets sont a coordonnées entières) contient le carré .

Bon travail :happy3:

[Skullkid]

Salut, je dirais , en considérant que les points ne sont pas des carrés.

[Doraki]

c'est moi qui comprend pas ou c'est "contenus dans" à la place de "contient" ?

[Skullkid]

Les délices de l'inversion sujet-verbe :p

[benekire2]

c'est moi qui comprend pas ou c'est "contenus dans" à la place de "contient" ?

Oui c'est assez mal exprimé .. désolé !

[benekire2]

Salut, je dirais , en considérant que les points ne sont pas des carrés.

Ta formule est vraisemblablement fausse (pour n=2 par exemple) ; cela dit tu semble ne vouloir compter que les carrés non triviaux ; ce qui est légitime ...

[nuage]

Salut.
Si on ne considère que les carrés dont les côtés sont parallèles aux axes, c'est assez facile.
Il y en a n(n+1)(2n+1)/12. C'est la somme des n premiers carrés

Mais je suppose que ce n'est pas le cas.

[benekire2]

Non justement c'est pas le cas ! :zen:

[Skullkid]

Ta formule est vraisemblablement fausse (pour n=2 par exemple) ; cela dit tu semble ne vouloir compter que les carrés non triviaux ; ce qui est légitime ...

Pour n=2 j'obtiens 1 seul carré, ce n'est pas le cas ?

[benekire2]

J'ai merdé, sur mes dessins n=2 correspond a deux carreaux ie n=3 ...
Tu as donc raison :lol3:

[Skullkid]

Ok, ça me rassure. Pour ce qui est de mon calcul, il y a sans doute plus rigoureux : je compte le nombre de carrés qui s'inscrivent dans un carré "droit" (dont les côtés sont parallèles aux axes) de côté k. Si je numérote les 4k points à coordonnées entières qui sont sur le carré droit de côté k en allant par exemple dans le sens direct, on tombe sur k carrés inscrits, qui sont (1,k+1,2k+1,3k+1), (2,k+2,2k+2,3k+2) et ainsi de suite jusqu'à (k,2k,3k,4k). Sachant que le nombre de carrés droits de côté k dans un carré de côté n-1 est (n-k)², le nombre total de carrés dans un carré de côté n-1 est la somme pour k allant de 1 à n-1 de (n-k)²k, c'est-à-dire (n-1)n²(n+1)/12.

[ffpower]

Joli :we:

[benekire2]

Ben perso j'ai pas de "vraie preuve", je ne fais que compter. Il doit surement y avoir une preuve carré-carré (sans faire de mauvais jeux de mots) ; mais elle doit être plus pénible qu'autre chose.

Plus difficile maintenant, le défi de LeJeu qui pose la même question en dimension 3 :id:

[LeJeu]

Plus difficile maintenant, le défi de LeJeu qui pose la même question en dimension 3 :id:

Oui mais dans un cube (seulement de) coté 4 !