Analyse

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aviateur
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Analyse

par aviateur » 07 Jan 2019, 22:22

Bonjour
Je propose ce petit exercice d'analyse (niveau L1-math sup)
Soit f : [0,1]→[0,1] une fonction t.q | f (x)− f (y)| ≤ |x−y| for all
x, y ∈ [0,1].
Montrer que l'ensemble des points fixes est soit un singleton ou bien intervalle.



LB2
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Re: Analyse

par LB2 » 10 Jan 2019, 10:12

Très joli! Je vais le poser en colle ce soir tiens!

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Re: Analyse

par aviateur » 10 Jan 2019, 16:03

Si on voit sur un forum la question ressortir demain, on aura compris pourquoi!

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chan79
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Re: Analyse

par chan79 » 10 Jan 2019, 21:44

j'essaie
supposons que a et b soient deux points fixes
Montrons que si a<x<b alors x est un point fixe
|f(x)-f(a)|<=|x-a| donne |f(x)-a|<=x-a
donc f(x)<=a+x-a
f(x)<=x
de même
|f(x)-b|<=b-x
f(x)>=b-(b-x)
f(x)>=x
Finalement f(x)=x
Ca me paraît un peu trop simple ....

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Re: Analyse

par aviateur » 10 Jan 2019, 21:56

Ok @chan, c'est quasiment ça mais il manque quelques éléments pour bien finir l'exo.
De plus dans le cas de l'intervalle que peut-on dire de plus?

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Re: Analyse

par chan79 » 11 Jan 2019, 00:11

On montre facilement que f est continue sur [0;1] dans [0;1]. Elle admet donc au moins un point fixe.
On considère la borne inférieure m et la borne supérieure n de l'ensemble des points fixes.
Si m et n sont différents, on montre que tout élément de ]m;n[ est un point fixe (voir mon message précédent) puis que l'ensemble des points fixes est [m;n] en utilisant la continuité de f en m et n.
Donc soit il y a un seul point fixe, soit l'ensemble des points fixes et un intervalle fermé.


Exemples ci-dessous avec le graphe de f en bleu et les points fixes en rouge.
Cas d'un singleton:
Image
Cas d'un intervalle fermé:
Image

pascal16
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Re: Analyse

par pascal16 » 11 Jan 2019, 12:31

il me semble qu'on peut généraliser :

avec continuité
-> soit un point, soit un intervalle unique fermé (le premier cas étant inclus dans le second)

sans hypothèse de continuité, pas de point fixe obligatoire mais on a
-> soit aucun point fixe, soit un point isolé, soit un intervalle unique qui peut être non fermé(même remarque).

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chan79
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Re: Analyse

par chan79 » 11 Jan 2019, 13:16

Salut
Il me semble qu'avec la condition de l'énoncé, f est nécessairement continue sur [0,1]
Si on fixe y
soit strictement positif quelconque, si on prend |x-y|< alors |f(x)-f(y)|<=|x-y|<
f est donc continue en y.

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Re: Analyse

par aviateur » 11 Jan 2019, 13:19

@chan D'accord pour ta solution
pascal16 a écrit:il me semble qu'on peut généraliser :

avec continuité
-> soit un point, soit un intervalle unique fermé (le premier cas étant inclus dans le second)


Je ne suis pas du tout d'accord avec ça. On perd une hypothèse important par rapport à l'exercice.
Ce n'est pas très difficile d'exhiber un contrexemple.

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Re: Analyse

par aviateur » 11 Jan 2019, 13:22

Rebonjour
L'hypothèse dit que f est 1-lipschitzienne et cela implique la continuité. La réciproque est fausse.

pascal16
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Re: Analyse

par pascal16 » 11 Jan 2019, 14:45

elle est en effet continue

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Re: Analyse

par Ben314 » 12 Jan 2019, 03:31

Salut,
S'il y en a qui veulent chercher un truc semblable, dans un vieux post. on s'était posé la question suivante :
Soient f et g deux fonctions continues de [0,1] dans [0,1] telles que fog=gof.
Existe-t-il forcément (au moins) un x de [0,1] tel que f(x)=x=g(x) ?

Sachant que la question au départ était uniquement de montrer qu'il y avait au moins un x de [0,1] tel que f(x)=g(x)

Je n'ai ni preuve, ni contre exemple . . .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Re: Analyse

par aviateur » 13 Jan 2019, 14:25

Bonjour, j'ai regardé et c'est pas évident du tout.
Ce qui est assez flippant dans cette question c'est le côté abstrait de l'hypothèse fog=gof.

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chan79
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Re: Analyse

par chan79 » 13 Jan 2019, 20:44

Ben314 a écrit:Salut,
S'il y en a qui veulent chercher un truc semblable, dans un vieux post. on s'était posé la question suivante :
Soient f et g deux fonctions continues de [0,1] dans [0,1] telles que fog=gof.
Existe-t-il forcément (au moins) un x de [0,1] tel que f(x)=x=g(x) ?

Sachant que la question au départ était uniquement de montrer qu'il y avait au moins un x de [0,1] tel que f(x)=g(x)

Je n'ai ni preuve, ni contre exemple . . .

Salut
Pas facile déjà de trouver des exemples
Avec f(x)=1/4 et g(x)=x , un seul point fixe commun: 1/4
Avec f(x)=x² et g(x)= , deux points fixes communs: 0 et 1
Avec f(x)=-4x²+4x et g(x)=3/4, un point fixe commun: 3/4

Il y a une démonstration connue avec par exemple l'hypothèse supplémentaire: f décroissante.
On pose h(x)=f(x)-x
h est strictement décroissante sur [0;1]
h(0)=f(0)>=0
h(1)=f(1)-1<=0
il existe un unique a dans [0;1] tel que h(a)=0 et on a f(a)=a
g(f(a))=g(a)
g(f(a)=f(g(a))
donc f(g(a))=g(a) et h(g(a))=0 et donc enfin g(a)=a
finalement f(a)=g(a)=a

Autre démonstration (pas de moi) dans le cas où f est croissante:
g, continue de [0,1] dans [0;1] admet un point fixe b.
soit la suite:
x(0)=b
x(1)=f(x(0))
x(n+1)=f(x(n))
Comme f est croissante, la suite x(n) est croissante si x(0)<=x(1) ou décroissante dans le cas contraire. Comme elle est bornée, elle converge vers un nombre a et comme f est continue, on a f(a)=a.
g(x(0))=g(b)=b
g(x(1))=g(f(x(0))=f(g(x(0)))=f(b)=x(1)
on procède par récurrence
si g(x(n)))=x(n)
g(x(n+1))=g(f(x(n)))=f(g(x(n)))=f(x(n)))=x(n+1)
donc g(x(n))=x(n) pour tout n
Comme x(n) converge vers a et comme g est continue, g(a)=a
donc f(a)=g(a)=a

 

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