Ben314 a écrit:Salut,
S'il y en a qui veulent chercher un truc semblable, dans un vieux post. on s'était posé la question suivante :
Soient f et g deux fonctions continues de [0,1] dans [0,1] telles que fog=gof.
Existe-t-il forcément (au moins) un x de [0,1] tel que f(x)=x=g(x) ?
Sachant que la question au départ était uniquement de montrer qu'il y avait au moins un x de [0,1] tel que f(x)=g(x)
Je n'ai ni preuve, ni contre exemple . . .
Salut
Pas facile déjà de trouver des exemples
Avec f(x)=1/4 et g(x)=x , un seul point fixe commun: 1/4
Avec f(x)=x² et g(x)=
, deux points fixes communs: 0 et 1
Avec f(x)=-4x²+4x et g(x)=3/4, un point fixe commun: 3/4
Il y a une démonstration connue
avec par exemple l'hypothèse supplémentaire: f décroissante.
On pose h(x)=f(x)-x
h est strictement décroissante sur [0;1]
h(0)=f(0)>=0
h(1)=f(1)-1<=0
il existe un unique a dans [0;1] tel que h(a)=0 et on a f(a)=a
g(f(a))=g(a)
g(f(a)=f(g(a))
donc f(g(a))=g(a) et h(g(a))=0 et donc enfin g(a)=a
finalement f(a)=g(a)=a
Autre démonstration (pas de moi)
dans le cas où f est croissante:
g, continue de [0,1] dans [0;1] admet un point fixe b.
soit la suite:
x(0)=b
x(1)=f(x(0))
x(n+1)=f(x(n))
Comme f est croissante, la suite x(n) est croissante si x(0)<=x(1) ou décroissante dans le cas contraire. Comme elle est bornée, elle converge vers un nombre a et comme f est continue, on a f(a)=a.
g(x(0))=g(b)=b
g(x(1))=g(f(x(0))=f(g(x(0)))=f(b)=x(1)
on procède par récurrence
si g(x(n)))=x(n)
g(x(n+1))=g(f(x(n)))=f(g(x(n)))=f(x(n)))=x(n+1)
donc g(x(n))=x(n) pour tout n
Comme x(n) converge vers a et comme g est continue, g(a)=a
donc f(a)=g(a)=a