~ Tout le Collège pour les Nuls ~ (Calcul)

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~ Tout le Collège pour les Nuls ~ (Calcul)

par Lostounet » 23 Mai 2010, 02:39

Bonjour/Bonsoir.
Vous êtes nouveau/nouvelle sur le forum et avez grand besoin d'aide urgemment? Ce fil est pour vous! Il vous aidera à résoudre votre problème dans l'immédiat.


Qu'attendez-vous pour commencer? :D

~Commencer :ghee: ~



(Cliquez sur 'Commencer')



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par Lostounet » 23 Mai 2010, 02:40

I - Le Calcul

Veuillez cliquer l'une des options générales suivantes afin d'être conduit vers une page contenant des détails spécifiques pouvant régler votre problème.

A - Je ne sais pas calculer une expression numérique!

B - J'ai un problème en calcul littéral!

C - Je ne sais pas résoudre des équations!

D - J'ai des soucis avec les fonctions!





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par Lostounet » 23 Mai 2010, 02:58

1. J'ai un calcul avec des fractions et des nombres. Comment procéder?

Tout d'abord, il est à savoir que la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction. Ainsi, il faut commencer par repérer et calculer avant tout les multiplications et les divisions.
(Attention: Parfois, il y a des parenthèses, il faut dans ce cas commencer par les parenthèses les plus intérieures avant toute chose!).

Pour ce qui est nombre, c'est facile, il suffit de connaître sa table de multiplication.
Parfois, on tombera sur des fractions.

Pour additionner ou soustraire deux fractions on doit les mettre sous le même dénominateur. Exemple:

=
(On ne change pas une fraction en multipliant/divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre)
=
= (Réductible..)

Ensuite, on ajoute les numérateurs entre eux et on garde le dénominateur.
Remarque Intéressante: Il faut essayer de chercher un multiple commun aux deux dénominateurs mais qui soit le plus petit possible. (PPCM)

Pour multiplier des fractions, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par l'inverse de l'autre.

Exemple:

=
=

Il sera souvent demandé de simplifier une fraction.
Pour simplifier une fraction, on doit regarder si le numérateur et le dénominateur sont divisibles par un même nombre. Parfois, il conviendra de trouver le PGCD du numérateur et du dénominateur.

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 03:13

2. J'ai un calcul avec des exposants. Comment faire?

On admet les propriétés suivantes:
Soient n et k deux réels. Soient p et q deux entiers relatifs non nuls.
On a:


(Avec n non nul)
(Avec k non nul)
= (Avec k non nul)

Cependant, on ne peut avoir des propriétés concernant l'addition / soustraction de nombres avec des puissances.


La Notation Scientifique d'un nombre c'est ce nombre écrit avec un seul chiffre non nul avant la virgule multiplié par une puissance de 10.
Exemples:

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 03:16

3. J'ai un calcul faisant intervenir des Radicaux ("Racine Carrée). Quelles sont ses propriétés et comment faire?

La Racine Carrée d'un nombre positif est l'unique nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre initial. (On sait que deux opposés carrés donnent le même nombre, mais ce nombre n'admet pour racine carrée que le nombre positif parmi ces opposés).


On admet les propriétés suivantes:
Soient a et b deux nombres positifs.
=
=

Sinon, ces propriétés ne sont pas valables pour l'addition et la soustraction.

Remarque: Il est demandé de savoir maitriser la première propriété pour mettre le nombre sous le radical sous la forme a;)b où b est le plus petit possible (avec a et b des entiers)
= = =

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 03:27

1. Factoriser une Expression

Factoriser une somme algébrique revient à la transformer en un produit de facteurs.


On admet que:
ka + kb = k (a + b)

On peut factoriser en trouvant un facteur commun, ou par une identité remarquable. Cette section ne traite que de la factorisation par un facteur commun. Pour les identités, voir la section Identités Remarquables.

Exemples:
3x – 9 = 3x – 3 * 3 = 3 (x – 3)
(x + 3)(x – 1) + (x – 2)(x + 3)
= (x + 3) [(x – 1) + (x – 2)]
= (x + 3) [x – 1 + x – 2]
= (x + 3)(2x – 3)

* Pourquoi Factoriser?
La Factorisation joue un rôle important dans la résolution d'équations de degré supérieur à 1 (x² ....), comme on le verra plus tard dans la résolution d'équations produit nul.

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 03:31

2. Développer une Expression

Développer une expression consiste à effectuer toutes les multiplications afin de rendre cette expression à son "état initial" (somme algébrique).


Ainsi, il s'agit en quelque sorte de la marche inverse de la factorisation.

On a:
k (a + b) = ka + kb (La Distributivité)
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (La Double Distributivité)


Remarque: Le signe – devant les parenthèses bouleverse le signe des termes entre les parenthèses.

Par exemple:

- [3x + 10 - 2y]
= -3x -10 + 2y

Exemple: Développer
(2x + 3)(10 - 3y)
= 2x * 10 - 3y * 2x + 2x * 10 - 3y * 2x
= 20x - 6xy + 20x - 6xy
= 40x - 12xy (On regroupe les variables de mêmes natures ensembles: les x ensemble, les x² ensemble, etc...)

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 03:36

3. Les Identités Remarquables

Il s'agit de développements de formes fixées qu'il convient de connaître. Les identités remarquables à connaître en classe de troisième sont au nombre de 3.


On a:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² - b²

Ainsi, on pourra utiliser ces formes pour développer d'autres expressions avec des éléments différents.
(2a + 3)² = (2a)² + 2(2a)(3) + (3)² = 4a² + 12a + 9

Inversement, quand on verra une expression de forme l'un des développements ci-dessus, on pourra essayer d'arriver à une factorisation.
Exemples:
x² - 49 = x² - 7² = (x + 7)(x – 7)

4x² - 4x + 1 = (2x)² - 2(2x)(1) + (1)²
= (2x - 1)²

100x² + 60x + 9 = (10x)² + 2(10x)(3) + (3)²
= (10x + 3)²

2x² - 50 = 2(x² - 25) = 2(x² - 5²) = 2(x + 5)(x - 5)

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 03:57

1. J'ai une égalité avec une inconnue et des nombres. Comment Résoudre cette équation?


Tout d'abord, on pourrait comparer une équation à une balance en équilibre. On peut multiplier/soustraire/diviser/ajouter aux/les deux membres de cette équation par/des nombres à condition de faire de même des deux cotés.

Exemple concret:
2x + 9 = ½
Multiplions les deux membres de l'équation par 2.
2(2x + 9) = 2 * ½
4x + 18 = 1
Soustrayons 18 aux deux membres de l'égalité (Ou bien ajoutons -18..)
4x + 18 - 18 = 1 - 18
4x = -17
Divisons les deux membres de l'équation par 4.
x = -17/4

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 04:03

2. Comment Résoudre un problème faisant intervenir les équations du premier degré à une inconnue.

Certaines situations (ou énoncés) présentent un problème dans lequel nous disposons de plusieurs quantités qui interviennent ensemble. En général, ces quantités dépendent les unes des autres. Par exemple, nous avons que la somme de plusieurs prix fait tel, la somme de deux distances vaut telle valeur... Et puis on nous fournit un renseignement liant ces quantités entre elles.

La Résolution de tels énoncés se fait en 4 étapes.



1) Choix de l'inconnue: la quantité que l'on cherche. C'est vous qui choisissez le nom de cette inconnue ! x, y, z, j, v, t, k..?

Il est parfois plus simple de choisir comme inconnue la première lettre de l'objet dont on cherche de déterminer la valeur ; exemple: b pour billes, j pour joueurs, etc...

2) Mise en équation: Généralement l'étape la plus 'difficile'. Nous la verrons plus tard.

3) Résolution de l'équation: Résolution méthodique de l'équation en appliquant les règles de calcul...

4) Vérification: Vérification du résultat obtenu dans 2) et 3) en les confrontant aux hypothèses de l'énoncé

Voici deux exemples de problèmes difficiles et leur solution:

Problème1 a écrit:Dans une école il y a quatre classes de 4eme groupant en tout 112 eleves. Dans la classe de la 4eme B, il y a 5 élèves de plus qu'en 4eme A. Le rapport du nombre des élèves de 4eme C et celui de 4eme A est de 2/3, et la classe de 4eme D a 7 élèves de plus qu'en 4eme C. Calculer le nombre d'élèves dans chaque classe. (D'après "Mathématique quatrième année du cycle moyen" Prog Libanais, 1975)





Solution


Étape 1: Choix de l'inconnue
Soit x le nombre d'élèves en 4e B. (On choisit une classe de référence. On aurait pu choisir la 4ème A, ou une autre section !)

Étape 2: Mise en Équation
Le nombre d'élèves en 4e A est donc x –- 5 (comme il y a 5 élèves en moins en 4e A qu'en 4e B).

Le rapport des élèves de 4e C et de 4eme A est de 2/3. Cela signifie que pour deux élèves en 4e C il y en a 3 en 4eme A. En calculant donc les 2/3 du nombre d'élèves en 4e A, on trouvera celui des élèves en 4e C. Or x –- 5 est le nombre des élèves en 4eme A, donc celui des élèves en 4e C serait soit donc

La 4e D possède 7 élèves de plus que la quatrième C. On peut donc dire qu'elle possède 2x/3 –-10/3 + 7 élèves en tout.

Maintenant on sait que la somme des élèves de toutes les classes réunies est de 112.

L'équation à résoudre est donc la suivante:

(4ème A) + (4ème B) + (4ème C) + (4ème D) = 112

(x –-5) + (x) + (2x/3 –- 10/3) + (2x/3 - – 10/3 + 7) = 112

Etape 3: Résolution de l'Équation

x + (x –- 5) + 2x/3 - – 10/3 + 2x/3 –- 10/3 + 7 = 112
2x - – 5 + 2x/3 –- 10/3 + 2x/3 – - 10/3 + 7 = 112
2x + 4x/3 - – 5 –. - 20/3 + 7 = 112
10x/3- – 20/3 + 2 = 112
10x/3- – 20/3 = 110
10x- – 20 = 330
10x = 350
x = 35.

Étape 4: Vérification et Conclusion
Le nombre d'élèves en 4eme B semble être 35.
Celui en 4e A est donc 35 -– 5 = 30.
Celui en 4e C correspond aux 2/3 de ce qu'il y a en 4ème A, donc 20 élèves.
Celui en 4e D est de 20 + 7 = 27.
La somme du nombre des élèves est de 35 + 30 + 20 + 27 = 112

Le problème a donc été bien résolu !


Problème2 a écrit:Déterminer deux entiers consécutifs sachant que la différence de leurs carres est de 225. (D'après "Mathématique quatrième année du cycle moyen" Prog Libanais, 1975)

Solution:

Étape 1: Choix de l'inconnue
Soit x le premier nombre. Son successeur est donc x + 1.

Étape 2: Mise en équation
Le carré du premier nombre est x². Le carré du second nombre est (x + 1)².

On a donc:
(x + 1)² - x² = 225 (On soustrait du plus grand, le plus petit)


Étape 3: Résolution de l'équation

x² + 2x + 1 – x² = 225
x² - x² + 2x + 1 = 225
2x = 224
x = 112


Étape 4: Conclusion et Vérification

Ces nombres semblent donc être 112 et 113.

112 et 113 sont deux entiers consécutifs. De plus, 113² - 112² = 225, d’où 113 et 112 sont bien les nombres cherchés.

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 04:11

3. Équations produit nul (J'ai une équation avec une inconnue, mais elle n'est formée que de produits de facteurs et aboutit à 0!)

Votre Équation est de la forme (x + b)(x + d) = 0 ?
(ou (ax + b)(cx + d) = 0)
Mais que faire!
Vous essayez de développer... Rien n'y fait..!


On examinera ce type d'équations très attentivement.

Soit à résoudre:
3 * x = 0
On verra que x = 0 puisque 3 n'est pas égal à 0.

Soit à résoudre:
x * y = 0
On verra que x = 0 ; ou y = 0 (ou x = y = 0)

Que peut-on en déduire concernant ce type d'équation?

Une équation de plusieurs facteurs multipliés aboutissant à un 0 est une équation produit nul. Donc au moins l'un de ses facteurs est nul.

Exemple concret:
(2x + 3)(4x - 1) = 0
Propriété: C'est une équation produit nul, donc au moins l'un de ses facteurs est nul.

Alors 2x + 3 = 0 OU BIEN 4x - 1 = 0
On résout ces deux équations normalement.
2x = -3 ; 4x = 1
x = -3/2 ; x = 1/4

(Remarque: Dans l'exemple de x et y plus haut, on a pu poser x = y, mais on ne peut pas dire ici 2x + 3 = 4x - 1 = 0 puisqu'il s'agit strictement de nombres différents)

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 04:13

4. Systèmes d'équations (J'ai un système d'équation avec deux inconnues... Je ne sais pas les trouver!)

J'ai un système d'équations comme celui-ci:



Comment le résoudre?

Il existe deux méthodes principales pour le faire. On pourra le résoudre par:
1) Substitution
2) Addition (Ou "Combinaison")


La première méthode est plus adéquate lorsque l'une des variables a un coefficient qui vaut 1 (Pas de 2x ou 2y; ni de 3y ou 5x.., simplement x + .. ou y + ..), mais rien n'empêche de l'utiliser quand on veut ! (Le calcul devient juste un peu plus compliqué).

Méthode 1: Substitution
Le terme 'substitution' laisse entendre un certain remplacement.
Cette méthode consiste à exprimer, dans l'une des équations, une inconnue en fonction de l'autre. Ensuite, on remplacera dans l'autre équation la lettre substituée par l'autre afin de n'obtenir qu'une équation à une seule inconnue.


Exemple:


Dans la première équation, exprimons x en fonction de y.
x + y = 18
x = 18 - y

Ensuite, remplaçons x par (18 - y) dans la deuxième équation.
20x - 5y = 4
20(18 - y) - 5y = 4

On retrouve une équation du premier degré à une seule inconnue!

360 - 20y - 5y = 4
-25y = -356
y = -356/-25 = 356/25
On pourra à présent remplacer y dans l'une des deux équations pour trouver la valeur de x.

x + y = 18
x + 356/25 = 18
x = 18 - 365/25


Alors ce système a pour solution le couple (3,84; 14,16) (Le x avant le y)

Méthode 2: Addition
Résoudre une équation par addition laisse entendre la combinaison des deux équations.
Ce que l'on fera, c'est multiplier l'une des équations, ou les deux, simultanément par une valeur de telle sorte à avoir deux coefficients pour une même variable qui sont opposés. En faisant la somme des deux équations, ces inconnues s'annuleront par réduction, laissant place à une seule autre inconnue, ce qui rend la tâche plus simple!

Soit à résoudre:


Multiplions la première équation par (-2).
-2(2x + 3y) = -2 * 18
-4x - 6y = -36

On obtient une équation toujours équivalente à la première.
Additionnons, membre à membre, la deuxième équation du système et celle qu'on vient d'obtenir.

-4x - 6y + 4x - 2y = -36 + 4
-4x et 4x s'annulent!
-8y = -32
8y = 32
y = 4


On a trouvé la valeur de y! On pourra remplacer cette valeur dans n'importe quelle équation pour retrouver x.

4x - 2y = 4
4x - 8 = 4
4x = 12
x = 3


Ainsi ce système admet pour solution l'unique couple (3 ; 4).

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 04:19

5. Inéquations (J'ai une inéquation (signes ...) avec une inconnue et plusieurs nombres, comment résoudre?)

Par définition, une inéquation sert à établir des relations d'ordre entre les éléments.
Les inéquations fonctionnent comme les équations: Si l'on veut diviser, multiplier, ajouter ou soustraire, il faut faire de même pour les deux membres.
Mais attention, lorsqu'on veut multiplier ou diviser par un nombre négatif, il faut impérativement bouleverser le signe (l'ordre est inversé).

3 -5 en multipliant par -1, on a bouleversé l'ordre.


Langage des inéquations:
: Inférieur ou égal
: Supérieur ou égal
: Strictement inférieur
: Strictement supérieur


Exemple: Résoudre


Ainsi, soustrayons 3 aux deux membres. L'ordre ne change pas.






Multiplions par (-3) les deux membres. L'ordre est bouleversé, comme (-3) est négatif.



Divisons par 10 les deux membres. L'ordre ne change pas.



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par Lostounet » 23 Mai 2010, 04:45

1. Fonction Linéaire (J'ai une fonction linéaire où je dois déterminer des images ou antécédents / J'ai une fonction linéaire que je dois déterminer à partir de valeurs / J'ai une fonction linéaire à placer dans un graphique)


Par définition, une fonction est un élément mathématique qui, à un nombre donné, lui associe un autre nombre.

Toute fonction linéaire est définie par: f(x) = ax où a est le coefficient de cette fonction. Elle sert à modéliser des situations de proportionnalité.

L'image d'un nombre par cette fonction est le fait de le placer dans f, et après multiplication par a, on pourra la trouver.
Soit f(x) = 3x
Calculer l'image de 5 par cette fonction.

On a f(5) = 3 * 5 = 15 Tout simplement :id:


Trouver l'antécédent d'un nombre par cette fonction revient à trouver le x initial qu'on a placé dans la fonction pour aboutir à ce résultat.

Soit f(x) = 10x
Calculer l'antécédent de 18 par cette fonction.

On sait donc que f(x) = 18; or f(x) = 10x; alors:
10x = 18
x = 1.8



Souvent, on aura à déterminer une fonction avec des valeurs données.
Exemple: Déterminer la fonction linéaire h telle que h(4) = 10.

Solution:
Il s'agit d'une fonction linéaire. Elle s'écrit donc de la forme h(x) = ax où
a est le coefficient.
Ainsi, h(x) = ax et de plus, h(4) = 10 alors

10 = 4a
a = 2.5

Alors h(x) = 2.5x


On admet aussi la propriété suivante:
Soit f une fonction linéaire.
f(kx) = k * f(x)



Pour ce qui est graphique:
La Fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère. Quand on devra tracer une fonction linéaire, on cherchera les coordonnées d'un point et on prolongera sachant qu'elle passe par l'origine du repère.

f(0) = 0 pour toute fonction linéaire.

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 04:47

2. Fonction Affine (J'ai une fonction affine où je dois déterminer des images ou antécédents / J'ai une fonction affine que je dois déterminer à partir de valeurs données / J'ai une fonction affine à placer dans un graphique)

Tout comme les fonctions linéaires, les fonctions affines sont des fonctions de la forme f(x) = ax + b.


Le calcul d'images se fait en remplaçant x par sa valeur. Le calcul d'antécédents se fait de même. (Remplaçant a et b par leurs valeurs, on pourra chercher x avec l'égalité).

Exemple: Déterminer l'antécédent de 10 par la fonction f(x)= 2x + 12
On pose 2x + 12 = 10
2x = -2 ; x = -1




Difficultés:


Déterminer une fonction affine telle que f(3) = 5 et f(8) = 10


On utilise pour cela le taux d'accroissement (Différences des images sur différence des antécédents, pourvu qu'ils soient dans l'ordre).

a =
= 1

Alors f(x) = x + b

Or f(3) = 5 , alors 5 = 3 + b
b = 2

Ainsi, f(x) = x + 2


Pour ce qui est graphique, il faudra chercher deux points particuliers comme une fonction affine ne passe pas forcément par l'origine du repère.

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par Lostounet » 23 Mai 2010, 04:54

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