Sujet 001

[Rachid1]

On considère l'ensemble E={1;2 ;3;4;5;6;7;8;9;10;11}.
On choisit dans cet ensemble, 8 nombres distincts deux à deux.
Montrer que parmi les nombres choisis, il existe au moins deux dont le rapport vaut 2.

[Ben314]

Salut,
Supposons qu'on choisisse des nombres de l'ensemble E de façon a ce que, dans les nombre choisis, aucun des rapports ne fasse 2 alors :
- Dans l'ensemble {1,2,4,8} on ne peut prendre au maximum que deux éléments.
- Dans l'ensemble {3,6} on ne peut prendre au maximum qu'un des deux éléments.
- Dans l'ensemble {5,10} on ne peut prendre au maximum qu'un des deux éléments.
- Dans ceux qui restent, c'est à dire {7,9,11} on peut prendre ce qu'on veut (donc trois au max).

Au total, on a donc pris au plus, 2+1+1+3=7 éléments ce qui prouve que lorsque l'on en prend 8, il y aura forcément un rapport égal à 2.