Ordre dans R 3ème

[yuzarseef]

Bonjour à TOUS.
Soient a et b deux réels positifs non nuls tel que:
a est inférieur ou égal à b.
montrer que: a/(b+1) est inférieur ou égal à a/b est inférieur ou égal à (a+1)/(b+1).

[mathelot]

bonjour,
partir de la conclusion.
Entre nombres strictement positifs

équivaut à (1)

[yuzarseef]

Pas du tout évident!!!
ne s'agit-il pas de comparer les trois nombres deux à deux?

[mathelot]

oui, on les compare deux à deux et on utilise l'équivalence (1) (cf supra.)

[Black Jack]

a/b - a/(b+1) = (a(b+1)-ab)/(b(b+1))
a/b - a/(b+1) = a/(b(b+1)) > 0 (puisque numérateur et dénominateur > 0)
a/b > a/(b+1)
a/(b+1) < a/b (1)
*****
(a+1)/(b+1) - a/b = ((a+1)b-a(b+1))/(b(b+1))
(a+1)/(b+1) - a/b = (ab+b-ab-a))/(b(b+1))
(a+1)/(b+1) - a/b = (b-a))/(b(b+1)) >= 0 (puisque b >= a et b > 0)

(a+1)/(b+1) - a/b >= 0
a/b <= (a+1)/(b+1) (2)
*****
(1) et (2) : a/(b+1) < a/b <= (a+1)/(b+1)

:zen:

[yuzarseef]

Merci beaucoup Monsieur Black Jack.