Nombres entiers

[Titite]

Bonjour, je suis nouvelle. Je reprends mes cours par correspondance et je ne comprends pas l'exercice. Soit x un nombre entier inférieur à 10 puissance 12. Montrer qu'il existe 4 nombres entiers c0,c1,c2,c3 tels que:
(je ne trouve pas comment en signale les puissances alors je les écris (), pardon)
x=1000(3).c3 + 1000(2).c2 + 1000.c1 +c0
Je ne comprends pas comment je peux démontrer cela, je suis vraiment gênée de mon ignorance, je m'excuse. Quelqu'un pourrait-il m'aider? Merci à vous. :cry:

[c pi]

Bonjour et bienvenue sur le forum !

Surtout ne soit pas gênée :
nous ignorons tous beaucoup plus de choses que nous n'en savons... :zen:

L'entier étant inférieur à 10^12 ou (10^{12} entre deux balises TEX)
cet entier peut s'écrire avec 12 chiffres (ou moins),
par exemple n = 147 258 369 951.

On peut donc le décomposer en
147 milliards ou
+ 258 millions ou
+ 369 milliers ou
+ 951 unités ou

Et voilà tes quatre z'entiers qui ont pris du gras...

Pour la démonstration tu peux adopter la même démarche
en désignant les douze chiffres par des lettres : n = abc def ghi jkl

Je crois bien qu'il faudrait - selon les conventions* en vigueur -
surligner et non pas souligner ces chiffres
pour les distinguer de la notation habituelle des produits,
car ici ne signifie pas mais
ou plus généralement
dans notre écriture décimale positionnelle ,
mais... j'ignore comment surligner et suis trop paresseux pour chercher un aide-mémoire TEX.

*Comme une ignorance peut en cacher une autre,
je viens de me rendre compte que
le surlignement est utilisé pour indiquer les répétitions périodiques de chiffres
22/7 = 3,142 857 142 857 142 857 ...
alors que dans notre cas il ne s'agit pas de cela.
Quelqu'un voudra peut-être bien nous éclairer sur cette affaire de notation...

[Quidam]

j'ignore comment surligner et suis trop paresseux pour chercher un aide-mémoire TEX.

Essaye \bar{abc} ou \overline{abc} ou
Ca m'a l'air bien similaire...

[Titite]

Je te remercie beaucoup de ta réponse et je suis allée sur le lien que tu m'as indiqué. J'ai pu comprendre encore des choses et suite à cela, si tu me le permets, je souhaiterai ton avis sur cet autre problème. Dans le systéme décimal, il y a la base auxiliaire avec zéro. Si je prends cette base et 9018 comme exemple. je le décompose comme cela 9[x1000]+0[x100]+1[x10]+8.
Maintenant si on me demande la même chose mais en base de 1000, cela fait la même chose non?! et en base de 10: 9x[10(3)]+0x[10(2)]+1x[10]+8.
1Je sais que 000=10(3), je chercherai les puissances trés prochainement
Base de 1000 pour 15 002 037, on a 15x[1000(3)]+2x[1000(2)]+0x[1000]+37
Base de 10 pour le même, on a 15x[10(6)]+2x[10(3)]+0x[10(2)]+3x[10(1)]+7
J'espère de pas trop abuser mais le moral remonte un peu plus avec ce soutien. Merci encore et à+

[c pi]

Base de 10 pour 15 002 037, on a 15x[10(6)]+2x[10(3)]+0x[10(2)]+3x[10(1)]+7

Attention en base dix, on utilise dix chiffres : 0,1,2...9
et le chiffre "15" n'existe pas.
Ta décomposition est donc correcte :++: à ce chiffre "15" près.

15 002 037 = 1x10^7 + 5x10^6 + 0x10^5 + 0x10^4 + 2x10^3 + etc
7 6 .5 4 3 .2 1 0

Dans la décomposition on peut se dispenser d'écrire les termes correspondant à un chiffre "0",
mais pas dans l'écriture décimale courante où les "0" indiquent précisément la position (le rang) de chaque chiffre dans le nombre.

C'est ce rang
(numérotation croissante de droite à gauche
en associant le rang "0" au chiffre des unités,
le rang "1" au chiffre des dizaines, etc )
qui porte implicitement l'information du poids de chaque chiffre
que l'on retrouve explicitement (mis en exposant de dix)
dans la forme décomposée.

Ainsi dans ton nombre 15 002 037,
le chiffre "2" situé au rang 3 et valant donc 2x10^3 ou deux mille
est beaucoup plus "lourd" que
le chiffre "3" situé au rang 1 et valant donc 3x10^1 ou trente.

Base de 1000 pour 15 002 037, on a 15x[1000(3)]+2x[1000(2)]+0x[1000]+37

D'abord en ce qui concerne le calcul,
tu peux voir que la somme de ces quatre termes
15 x 1000^3 = 15 x 1000x1000x1000 = 15 000 000 000
2 x 1000^2 = 2 x 1000x1000 = 2 000 000
0 x 1000^1 = 0 x 1000 = 0
37 x 1000^0 = 37 x 1 = 37
est égale à 15 002 000 037
et non à ton 15 002 037 pris en exemple.

Ensuite pour ce qui est de la "base 1000",
comme en base dix on utilise dix chiffres (0...9),
en base deux (binaire), on en utilise deux (0 et 1),
en base seize (hexadécimal), on en utilise seize (0,1...8,9,A,B,C,D,E,F),
en base bibibinaire (2^2^2=16) seize aussi (HO,HA,...KE,KI),
en base mille on en utilise... mille !
Et là je suis bien embêté pour te les énumérer. Le plus dur ne serait pas d'inventer les symboles nécessaires, mais de les apprendre et de les retenir !

Alors on peut s'affranchir de cette corvée en codant chacun des mille chiffres de ta base mille à l'aide d'un groupe de trois de nos chiffres décimaux habituels 000,001,002...,999 comme tu l'as fait spontanément.
Mais alors il faut considérer que chaque groupe de trois chiffres décimaux est un seul chiffre en base mille.

Ainsi ton nombre 015 002 037 est - en base mille - un nombre constitué de trois chiffres : "015" au rang 2, "002" au rang 1 et "037" au rang 0.

Sa décomposition s'écrira donc
"015" x 1000^2 + "002" x 1000^1 + "037" x 1000^0,
calculs que l'on peut effectuer - en base dix ! - pour vérifier :
015 x 1000x1000 + 002 x 1000 + 037 x 1
= 15 000 000 + 2 000 + 037 = 15 002 037
qui est bel et bien celui dont on avait décomposé l'écriture. :zen:

[c pi]

Essaye \bar{abc} ou \overline{abc}

et :++:

Toujours aussi sympa Quidam : tu m'en offres deux pour le prix d'un ! :zen:

Et ne t'en (re)mords pas les doigts au motif que tu m'as encouragé à la paresse... :salut:

[Titite]

Et oui, erreur d'inattention dans l'écriture de base 1000! Trop vite dans ma décomposition, dans mon travail par là même... merci et je repars dans mes exercices avec toutes ces informations logique, qui je l'espère vont me venir spontanément au fur et à mesure. Bonne soirée et à très bientôt pour enfin vous montrer que je sais résoudre quand même quelque chose!!!