Divisibilité

[Mattcoure]

Salut à tous ! J'ai trouvé ces problèmes sur internet, et malheuresement, il n'y a pas de correction. Quelqu'un pourrait il m'aider SVP ?

1) Nous divisons le cube d’un nombre naturel par 7. Quels restes pouvons nous avoir ?

2)Théorème de Sophie Germain (1776-1831)

Prouver que n4+4 n'est pas un nombre premier, où n est un nombre naturel différent de 1 ...

3) Dans un triangle rectangle, soit a et b les cotés de l'angle droit. a et b sont des nombres entiers différents de 1. Question :Est il possible que a et b soient impairs ?

Merci ! :++:

[Huit]

1) On remarque tout d'abord :








Méthode bon bourrin, on étudie tous les cas....
Soit , pour tout
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors

Les restes possibles de sont donc 1 et 6

[rene38]

Salut à tous ! J'ai trouvé ces problèmes sur internet, et malheuresement, il n'y a pas de correction. Quelqu'un pourrait il m'aider SVP ?
3) Dans un triangle rectangle, soit a et b les cotés de l'angle droit. a et b sont des nombres entiers différents de 1. Question :Est il possible que a et b soient impairs ?
Merci ! :++:

Bonsoir
Supposons a et b impairs : a=2n+1 et b=2p+1 avec n et p entiers naturels
alors a²+b²=(2n+1)²+(2p+1)²=4n²+4n+1+4p²+4p+1=4(n²+n+p²+p)+2
a²+b²=multiple de 4 + 2
a²+b² est multiple de 2 mais n'est pas multiple de 4=2² donc
a²+b² n'est pas le carré d'un entier et donc d'après le théorème de Pythagore, ...

et pendant qu'on y est :

2)Théorème de Sophie Germain (1776-1831)

Prouver que n4+4 n'est pas un nombre premier, où n est un nombre naturel différent de 1 ...

donc
donc et donc admet au moins 2 diviseurs autres que 1 :
n'est pas premier.

[Mattcoure]

:we: MERCI A TOUS !