Voilà je suis en 3ème, et avant les vacances ma prof de mathématiques nous a donné un DM a rendre pour la rentré. Je m'y prends pas à l'avance je sais. Mais elles nous avait dit qu'il n'était vraiment pas facil, c'est d'ailleurs la raison pour laquelle ce devoir ne sera pas noté.
Il est difficile car ce devoir comporte 2 exercices tout à fait inconnus pour nous. "C'est pour nous mettre dans le bain", mais ça n'empeche pas que je suis vraiment pomée là...
En bleu, l'énoncé. Et en vert, les notes que j'ai prises données par la prof.
Une démonstration de l'irrationnalité de
2 (racine de 2).On raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe une fraction irréductible p/q telle que
2 = p/q avec p et q non nuls.1) Expliquer pourquoi p² = 2p² (produits en croix) 2/1 = p²/q² => p²(nbre pair) 2q²
2 = p/q PGCD(p,q)=1p² paire => p pair
p impaire => p² impair
p= 2xk+1
p²= (2xk)+1
p²= 4k²+4k+1
p²= 2(2k²+2k)+1
p pair donc p= 2p'
p²= 2q²
(2p')²=2q²
4p'²=2q²
2p'²=q²
q pair
donc
12) Le nombre 2q² est-il pair ou impair ? Justifier.
3) a. Démontrer que si p est impair alors p² est impair.
b. En déduire que si p² est pair alors p est pair.
4) a. Comme p est pair, on pose p=2p'. Démontrer alors que q²=2p'²
b. En déduire, en raisonnant de manière analogue à la question 3 que q est pair.
5) Expliquer pourquoi les réponses aux questions 3 et 4 sont en contradiction avec la supposition de départ.
6) En déduire que
2 est un nombre irrationnel.Si quelqu'un arrive à m'expliquer comment ça marche tout ça, je lui fait tout ce qu'il veut !! Nan, vraiment je lui serait très reconnaissante.
Merci d'avance.
Laura.