DM 4eme

[gaelle3brm]

Bonjour,
Voilà une question de la part de mon frère (en 4e):

J'ai commencé mon dm mais je n'arrive pas à le finir.
Voici l'énoncé :
Dans le tableau final du spectacle de danse, tous les danseurs étaient en piste.
Quand ils se regroupaient par 2, il en restait 1 tout seul
Quand ils se regroupaient par 3, il en restait 2
Quand ils se regroupaient par 4, il en restait 3
Quand ils se regroupaient par 5, il en restait 4
Les danseurs étaient moins de 100. Combien y en avait-il ?

J'ai commencé par dire que c'est un nombre impair, que ce n'est ni un multiple de 3, ni un multiple de 4, et ni un multiple de 5. Mais comment est-ce que je pourrais faire pour trouver le nombre exact, sans avoir besoin de tester tous les nombres de 1 à 100 ?

Merci d'avance pour votre aide,
Cordialement

[Pisigma]

Bonjour,

soit N le nombre de danseurs,

je te suggère d'ajouter 1 au nombre de danseurs

ensuite regarde ce qui se passe quand on les regroupe par 2 ensuite par 3, 4 et finalement par 5

[annick]

Bonjour,

toutes tes remarques sont justes pour le moment.

Par quoi se terminent les multiples de 5 ? Donc par quel chiffre doit se terminer le nombre que tu cherches ?

[gaelle3brm]

Bonjour,

soit N le nombre de danseurs,

je te suggère d'ajouter 1 au nombre de danseurs

ensuite regarde ce qui se passe quand on les regroupe par 2 ensuite par 3, 4 et finalement par 5

donc on trouve que N+1 est pair, multiple de 3, multiple de 4, et multiple de 5. C'est bien ça ?
mais un multiple de 5 se termine par 0 ou 5
mais en fait il peut se terminer que par 0 car il doit être pair
donc ça peut être 10, 20, 30, ...., 100
or, 30, 60 et 90 sont divisibles par 3
et 20, 40, 60, 80, et 100 sont divisibles par 4
donc il y en a qu'un seul qui est divisible par 3 et par 4 : 60

donc on trouve que N+1 = 60
on en déduit que N=60-1=59

Est ce que c'est bon ?

[Pisigma]

OK ; tu peux vérifier en remplaçant dans:

Quand ils se regroupaient par 2, il en restait 1 tout seul
Quand ils se regroupaient par 3, il en restait 2
Quand ils se regroupaient par 4, il en restait 3
Quand ils se regroupaient par 5, il en restait 4

[gaelle3brm]

Oui, en faisant les divisions euclidiennes ?
On trouve bien en divisant par 2 qu'il reste 1 ; en divisant par 3 qu'il reste 4 ...etc

Merci beaucoup pour votre aide !
Bon après-midi

[Pisigma]

de rien,

bon après-midi aussi

[annick]

@Pisigma : jolie ta méthode

Pour ma part j'étais partie sur le fait que tout nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5. Donc s'il en reste 4 en divisant par 5, le nombre ne peut que se terminer par 9.
Ensuite, j'ai testé vite fait et le seul qui convenait était 59.

Je reconnais que c'est beaucoup moins élégant et moins dans l'esprit de la division.