Somme des puissances impaires des n premiers entiers

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Birouma
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Somme des puissances impaires des n premiers entiers

par Birouma » 14 Aoû 2014, 16:31

Bonjour,

p étant un entier impair quelconque, comment peut-on démontrer par récurrence le résultat suivant :

" La somme des puissances p-ièmes des n premiers entiers est divisible par n(n+1)/2 " ?

Merci de votre aide.



lapras
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par lapras » 14 Aoû 2014, 17:23

Notons S_n,p la somme des puissances p-ièmes des n premiers entiers.
Il s'agit de voir que 2*S_n,p est divisible par n(n+1), c'est à dire divisible par n et par (n+1). Regardons la somme modulo n : regroupe les termes (n-i)^p et i^p. De même regroupe les termes (n+1-i)^p et i^p. On utilise le fait que p est impair pour dire que (n-i)^p = -i^p modulo n (et de même pour n+1).

Birouma
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par Birouma » 14 Aoû 2014, 23:39

Merci beaucoup pour cette démonstration élégante.
Connaîtriez-vous une démonstration par récurrence ?

lapras
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par lapras » 15 Aoû 2014, 12:54

Sans avoir trop réfléchi, je ne vois pas directement.

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WillyCagnes
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par WillyCagnes » 15 Aoû 2014, 20:32

Merci d'aider cette association
PENSION MILLEPATTES
https://www.facebook.com/Association-millepattes-1723852844561273/

Birouma
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par Birouma » 16 Aoû 2014, 00:06

Merci beaucoup.
La démonstration par récurrence n'est pas la plus adaptée mais il semble qu'elle soit possible...
J'aimerais bien la connaître.

 

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