Proportion de nombres premiers de Pythagore

[anthony_unac]

Bonjour,

J'ai lu que tous les nombres premiers impaires
Sachant que les nombres premiers de Pythagore sont de la forme , peut on en déduire que la moitié des nombres premiers sont des nombres premiers de Pythagore ?

[samoufar]

Bonjour,

Je pense que c'est plutôt "tous les nombres premiers sont de la forme " (puisque 2 ne marche pas ).

Je ne pense pas qu'on puisse en déduire ça puisque la réciproque du résultat ci-dessus est fausse et puisque pour un même , et peuvent ne pas être tous deux premiers (ex : et ).

[nodgim]

Des stats ont été établies pour savoir s'il y avait plus de premiers 4n+1 ou plus de premiers 4n-1. Il y a un groupe qui est lègèrement plus représenté, et il semblerait que l'écart absolu grandit, alors que l'écart relatif diminue. Curieux, non ?

[Skullkid]

Bonjour, pour compléter la réponse de nodgim, tu peux essayer de jeter un coup d'oeil à l'article wiki sur le biais de Tchebychev.

Pour paraphraser l'article : on peut démontrer que les nombres premiers de la forme 4n+1 et 4n-1 ont la même densité asymptotique (donc "il y en a autant" de ce point de vue), mais si on les compte on voit qu'il y en a plus du côté 4n-1. L'écart serait apparemment lié au fait que 1 est un carré modulo 4 mais pas -1, mais on ne sait pas le démontrer sans admettre HRG.

[anthony_unac]

Merci pour toutes ces infos les gars, pour résumer (grossièrement) on est sur du 50/50 en observant une population de nombres premiers "suffisamment grande" mais pour le moment il faut rester prudent car rien n'a été démontré et des gens travaillent toujours la dessus donc le problème n'a rien d'évident.

[beagle]

Des stats ont été établies pour savoir s'il y avait plus de premiers 4n+1 ou plus de premiers 4n-1. Il y a un groupe qui est lègèrement plus représenté, et il semblerait que l'écart absolu grandit, alors que l'écart relatif diminue. Curieux, non ?

Pourquoi c'est curieux?
Déjà avec du pile ou face bien équilibré c'est ce qui est attendu, l'écart absolu grandit alors que le relatif diminue.
Et dans le cas présent s'il ya un petit biais pourquoi cela ne peut pas faire ça?

Sinon c'est grave, genre sondage de brexit?C'est quoi les conséquences?

[anthony_unac]

Des stats ont été établies pour savoir s'il y avait plus de premiers 4n+1 ou plus de premiers 4n-1. Il y a un groupe qui est lègèrement plus représenté, et il semblerait que l'écart absolu grandit, alors que l'écart relatif diminue. Curieux, non ?

Cela me rappelle (mais je peux peut être me tromper) une histoire étonnante sur le cas du pile ou face avec un nombre de lancers énorme. D'après ce que l'auteur disait et que j'en ai compris, l'écart absolu ne faisait que s'accroitre avec le nombre de lancers (passant un grand nombre de fois par l'équilibre certes) mais finissant par un écart vraiment énorme de sorte que si on jouait à ce jeu à répétition à l'échelle d'une vie humaine en gagnant 1 unité si pile tombe et en perdant 1 unité si face tombe, on finirait assurément ou très riche ou ruiné.

[Pseuda]

Bonjour, pour compléter la réponse de nodgim, tu peux essayer de jeter un coup d'oeil à l'article wiki sur le biais de Tchebychev.

Pour paraphraser l'article : on peut démontrer que les nombres premiers de la forme 4n+1 et 4n-1 ont la même densité asymptotique (donc "il y en a autant" de ce point de vue), mais si on les compte on voit qu'il y en a plus du côté 4n+1. L'écart serait apparemment lié au fait que 1 est un carré modulo 4 mais pas -1, mais on ne sait pas le démontrer sans admettre HRG.

Bonsoir,

Sans vouloir être rabat-joie, il est dit dans l'article qu'il y en a plus du côté de 4n+3 ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Biais_de_Tchebychev

[anthony_unac]

Reste à savoir combien il y en a de plus par rapport à combien d'observés au total ?

[Skullkid]

Merci pour toutes ces infos les gars, pour résumer (grossièrement) on est sur du 50/50 en observant une population de nombres premiers "suffisamment grande" mais pour le moment il faut rester prudent car rien n'a été démontré et des gens travaillent toujours la dessus donc le problème n'a rien d'évident.

En fait on a prouvé que le rapport (nombre de premiers inférieurs à n de la forme 4k+1)/(nombre de premiers inférieurs à n de la forme 4k-1) tend vers 1 quand n tend vers l'infini. Ce qu'on observe, et qu'on n'a pas prouvé sans HRG, c'est que la différence est beaucoup plus souvent en faveur des 4k-1.

Sans vouloir être rabat-joie, il est dit dans l'article qu'il y en a plus du côté de 4n+3 ?

Exact ! J'édite mon post au-dessus.

[nodgim]

@beagle:
Dans du 50/50, on pourrait raisonnablement s'attendre à ce que chaque groupe prenne le pas sur l'autre alternativement. Mais la prépondérance du 4n-1 n'est pas un cas unique, il me semble qu'il y a le même phénomène pour les premiers 6k+1 et 6k-1, et aussi pour bien d'autres groupes. En fait, c'est presque une généralité dans l'univers des nombres premiers.

Dans un tout autre registre, si on écrit les puissances de 3 en binaire, il y a autant de 1 que de 0 en moyenne, avec des alternances fréquentes.
Si on lance une pièce de monnaie, y a t'il tjs alternance de prédominance pile / face ?

[nodgim]

HRG, quesaco ?

[beagle]

@beagle:
Dans du 50/50, on pourrait raisonnablement s'attendre à ce que chaque groupe prenne le pas sur l'autre alternativement. Mais la prépondérance du 4n-1 n'est pas un cas unique, il me semble qu'il y a le même phénomène pour les premiers 6k+1 et 6k-1, et aussi pour bien d'autres groupes. En fait, c'est presque une généralité dans l'univers des nombres premiers.

Dans un tout autre registre, si on écrit les puissances de 3 en binaire, il y a autant de 1 que de 0 en moyenne, avec des alternances fréquentes.
Si on lance une pièce de monnaie, y a t'il tjs alternance de prédominance pile / face ?

En théorie, on joue avev l'infini donc avec Dieu, ce que Dieu a fait Dieu peut le défaire(faire en sens inverse) , donc d'un zéro initial on finira par revenir au zéro.Dans la pratique les séries se barrent très vite du zéro et comme les forces pour s'en éloigner de nouveau sont les mèmes que pour revenir, ben en pratique cela ne revient pas pendant un bon moment.Bref on n'a pas une oscillation autour d'un zéro initial.(il faut des supercycles pour constater les oscillations)
Maintenant si tu comptes les pairs et les impairs et toutes les puissances de 10 tu enlèves cette puissance de 10, en absolu cela va bien déséquilibrer le truc alors qu'en relatif cela va s'équilibrer .Donc sans parler de hasard, qu'il existe un biais comme cela, je ne vois pas ce qui serait surprenant, non?

[Romy]

Il manque aussi des entiers premiers; comment obtenir: 2, etc; quel théorème prouve, par ici, l'exhaustivité ?

[Skullkid]

HRG, quesaco ?

L'hypothèse de Riemann généralisée.

[Lostounet]

Cela me rappelle (mais je peux peut être me tromper) une histoire étonnante sur le cas du pile ou face avec un nombre de lancers énorme.

Ce serait pas lié aux lemmes de Borel Cantelli par 'hasard' :p?

(C'est comme l'histoire HS de la proba qu'un ouistiti écrive les premières pages des Misérables en appuyant anarchiquement sur un clavier :p)

[anthony_unac]

Ce serait pas lié aux lemmes de Borel Cantelli par 'hasard' :p?

(C'est comme l'histoire HS de la proba qu'un ouistiti écrive les premières pages des Misérables en appuyant anarchiquement sur un clavier :p)

J'ai tenté de comprendre le lien avec les lemmes de Borel Cantelli mais je n'ai pas le niveau pour les comprendre malheureusement
Quant au singe qui finit par écrire n'importe quel bouquin au bout d'un nombre très élevé de frappes à la machine à écrire, c'est très compréhensible. Prenons une machine à écrire de caractères, et imaginons un livre contenant pages avec caractères par pages.
Ecrire le livre dès le premier essais reviendrait à frapper exactement les caractères du premier coût. La probabilité est faible mais non nulle .
Si on retente cette expérience fois, la probabilité de ne pas écrire le bouquin est alors égale à Cette probabilité tend vers quand tend vers l'infini. Autrement dit tout finit par arriver quand on attend suffisamment longtemps.

[Pseuda]

Bonjour,

Une vie d'être humain n'y suffirait pas, ni même celle des 7 milliards, ni même celle des 7 milliards et de ceux qui nous ont précédé (je n'ai pas fait le calcul, mais bon... ).

Cela me fait penser à une question que je me suis posée récemment :

A un jeu télévisé où des questions avec un choix de 4 réponses possibles, sont posées aux candidats (je ne nommerai pas lequel(s) pour ne pas faire de pub ), y-a-t-il un nombre fini ou infini de questions ?

[beagle]

Bonjour,

...
A un jeu télévisé où des questions avec un choix de 4 réponses possibles, sont posées aux candidats (je ne nommerai pas lequel(s) pour ne pas faire de pub ), y-a-t-il un nombre fini ou infini de questions ?

Quel est le premier chiffre après la virgule du nombre 2 (on peut prendre 1/3, on peut prendre pi,...)
Quel est le suivant
Quel est le suivant
Quel est le suivant
Quel est le suivant
....

OK beaucoup se téléspectateurs vont se lasser et passer sur le foot ...

[Pseuda]

Ah, mais tu m'enlèves toutes mes illusions.... Non, à un jeu télévisé (en tout cas, celui auquel je pense), tu ne peux pas faire référence à une autre question, les questions sont indépendantes, toutes différentes (le fait qu'il y ait 4 réponses proposées n'a aucune importance).