Probabilite denombrement

[Celinecelouchecel]

Bonjour jai un petit exo de proba, je l'ai fait mais jai besoin de correction SVP
Alors voila:
Exo:
On range 4 boules identiques dans 5 tirroirs numerotés de 1 à 5 chaque tirroir est assez grand pour contenir les 4 boules
Quel est le nombre de repartitions possibles ?
Solution:
Je trie les cas:
1er cas: un tirroir contient 4 boules et les autres ne contiennent rien
Nombre de cas: permutation avec repetition:5!/4!
2eme cas:2 tirroires contiennent 2 boules :5!/(2!×3!)
3eme cas:un tirroir contient 3 boules et jn autre une seule:5!/(2!×3!)
4eme cas:2 tirroirs contiennent 1 boule et et un autre qui contient 2: 5!/(2!×2!)
Et le nombre de cas en tout ces la somme de ces 4 cas ce qui fait 30
Je trouve que ma solution nest pas pratique du tout

[infernaleur]

Salut,
j'aurais plutôt dit sa moi :
la première boule a 5 choix possibles (tiroirs 1 à 5)
la deuxième boule a aussi 5 choix possibles ( tiroirs 1 à 5)
....
la quatrième boule a aussi 5 choix possibles (tiroirs 1à 5)

Total : 5*5*5*5=5^4=625

[Celinecelouchecel]

dans votre cas vous avez traité beaucoup de repartitions, j'ai fait comme vous au debut puis je me suis dit que dans ce cas on compte le cas ou les tirroires contiennent respectivement par ex : 4,4,3,3,3 mais nous on na que 4 boules

[Pseuda]

Bonsoir,

Il manque un cas : une boule dans chaque tiroir.

Mais il y a une façon plus élégante de compter le nombre de rangements possibles. Elle consiste à matérialiser les emplacements vides entre les tiroirs et aux 2 extrémités. Il y a donc au total 10 cases, 4 pour les boules et 6 pour les taquets (qui font les séparations).

On fixe 1 taquet à chaque extrémité. Dès lors, le nombre de rangements possibles des boules dans les tiroirs correspond au nombre de rangements possibles des 4 taquets mobiles restants parmi les 8 emplacements situés entre les 2 extrêmes.

Il faut faire un dessin pour comprendre !

(je n'ai pas vu les messages entre-temps)

[infernaleur]

dans votre cas vous avez traité beaucoup de choix ,j'ai fait comme vous au debut puis je me suis dit que dans ce cas on compte le cas ou les tirroires contiennent respectivement par ex : 4,4,3,3,3 mais nous on na que 4 boules

Non ce n'est pas ce que j'ai dit,
en gros tu prend ta première boule tu la place dans un tiroirs au choix (ta 5 possibilités)
après tu prend ta deuxième boule, comme on a le droit de mettre autant de boule dans un tiroir ta encore 5 possibilités. Ensuite avec la troisième boule et la quatrième boule t'aura encore 5 possibilités.
Ici je compte le nombre de possibilités MAX de ranger les boules dans chaque tiroirs.
Sa donne donc 5*5*5*5 ( les 5 venant du fait qu'on a 5 choix possible pour chaque boule).

[Pseuda]

@infernaleur

Tu différencies les boules, et dans l'énoncé il est dit qu'elles sont toutes identiques.

[infernaleur]

@infernaleur

Tu différencies les boules, et dans l'énoncé il est dit qu'elles sont toutes identiques.

Ah oui exacte, je n'avais pas fait attention ....
Merci Pseuda !

[Pseuda]

Oui du coup c'est pas pareil et plus difficile !

[Celinecelouchecel]

Oui jai oublié un cas merci de me lavoir rappelé ^^
Par contre je nai pas compris votre solution pouvez vous reformuler sil vous plait ?

[Pseuda]

Par exemple cette configuration : XXOXOOXOXX (les X sont les taquets, les O sont les boules) correspond à :
0 boule dans le 1er tiroir
1 boule dans le 2ème
2 boules dans le 3ème
1 boule dans le 4ème
aucune boule dans le 5ème.

Au lieu de placer les boules dans les tiroirs, on place des taquets et on remplit avec les boules.

[Celinecelouchecel]

Ahhh ouiii cest une tres bonne methode et cest plus facile a calculer vous etes un geni merciii beaucoup ^^

[Pseuda]

De rien !

[Lostounet]

dans votre cas vous avez traité beaucoup de choix ,j'ai fait comme vous au debut puis je me suis dit que dans ce cas on compte le cas ou les tirroires contiennent respectivement par ex : 4,4,3,3,3 mais nous on na que 4 boules

Non ce n'est pas ce que j'ai dit,
en gros tu prend ta première boule tu la place dans un tiroirs au choix (ta 5 possibilités)
après tu prend ta deuxième boule, comme on a le droit de mettre autant de boule dans un tiroir ta encore 5 possibilités. Ensuite avec la troisième boule et la quatrième boule t'aura encore 5 possibilités.
Ici je compte le nombre de possibilités MAX de ranger les boules dans chaque tiroirs.
Sa donne donc 5*5*5*5 ( les 5 venant du fait qu'on a 5 choix possible pour chaque boule).

En fait une question s'impose (pour Infernaleur) si je nomme les boules identiques A B C D et que je place une boule dans chaque tiroir, est-ce que:
Tiroir1) A
2) B
3) C
4) D
5) vide

Est-ce pareil que
1) B
2) C
3) D
4) A
5) vide

? Vu que les boules sont identiques je pense que ces dispositions sont équivalentes...non?

[Celinecelouchecel]

Desolee je vous derange encore cest que dans ce cas ca fait 70 alrs quavec ma methide ca fait 60

[infernaleur]

dans votre cas vous avez traité beaucoup de choix ,j'ai fait comme vous au debut puis je me suis dit que dans ce cas on compte le cas ou les tirroires contiennent respectivement par ex : 4,4,3,3,3 mais nous on na que 4 boules

Non ce n'est pas ce que j'ai dit,
en gros tu prend ta première boule tu la place dans un tiroirs au choix (ta 5 possibilités)
après tu prend ta deuxième boule, comme on a le droit de mettre autant de boule dans un tiroir ta encore 5 possibilités. Ensuite avec la troisième boule et la quatrième boule t'aura encore 5 possibilités.
Ici je compte le nombre de possibilités MAX de ranger les boules dans chaque tiroirs.
Sa donne donc 5*5*5*5 ( les 5 venant du fait qu'on a 5 choix possible pour chaque boule).

En fait une question s'impose (pour Infernaleur) si je nomme les boules identiques A B C D et que je place une boule dans chaque tiroir, est-ce que:
Tiroir1) A
2) B
3) C
4) D
5) vide

Est-ce pareil que
1) B
2) C
3) D
4) A
5) vide

? Vu que les boules sont identiques je pense que ces dispositions sont équivalentes...non?

pour moi aussi c'est dispositions sont équivalentes, c'est pour sa que le nombre d'arrangement possible sera beaucoup plus petit (70 il me semble) au lieu de 625.
Il y aurait donc 555 cas où on a des dispositions identique ? (comment trouver ce chiffre ?)

[Celinecelouchecel]

Ca y est je lai reglee cest une faute de calcul merci desolee

[Lostounet]

Si j'ai bien suivi, voici la méthode suggérée par Pseuda. Si quelqu'un en a besoin (ou au cas où c'est pas ça..?)
On place les quatre boules identiques O par terre:

O O O O

On place deux morceaux métalliques
[ et ] au début et à la fin:
[O O O O]

Maintenant on va ajouter des morceaux de bois | pour les séparer (on reconstruit les 5 tiroirs). Normalement il y a la séparation entre tiroir 1 et 2, 2 et 3, 3 et 4, 4 et 5. On prend donc 4 morceaux de bois.

Par exemple:
[O O|| O |O|]
(Tiroir 1: deux boules)
(Tiroir 2: 0 boules) etc
On a donc
De combien de manières peut-on mettre les cloisons?

On peut d'abord faire galoper une cloison:
[|OOOO]
Ou [O|OOO] Ou [OO|OO] etc..

Elle peut se poser à 5 endroits distincts. On la fixe.
Puis on prend la seconde, elle peut cette fois se poser à 6 endroits distincts (à cause de l'autre cloison fixée).

La troisième aura 7 endroits distincts. Puis 8.

5×6×7×8=1680

Mais attention. Les cloisons sont toutes identiques on doit diviser par le nombre total de manières d'ordonner les 4 cloisons ie 4!.

1680/4! = 70

(On aurait directement pu prendre 4 parmi 8)

[Lostounet]

.
Il y aurait donc 555 cas où on a des dispositions identique ? (comment trouver ce chiffre ?)

Euh.. Aurais-tu par hasard fait 625-70 ?

On ne doit pas soustraire...
Imagine tu as 3 bananes identiques et 3 pommes identiques.
Le nombre d'ensemble banane-pomme que tu peux former est 9 ensembles(je devrais dire 9 couples ?)(chaque banane part avec une pomme).
Mais au final il y a que un seul modèle (qui se répète).

Donc si tu fais 9-1=8 .. ce 8 je ne sais pas s'il représente qqchose... (c'est pas le nb de sacs où les dispositions se répètent car ils se répètent 9 fois ..). Il faut 'diviser'. A la rigueur on peut dire que c'est le nombre de copies jetées mais bon..

Je ne sais pas si je me fais comprendre.. ni si j'ai compris ce que tu as fait. hahaha

[infernaleur]

Comme on aura plusieurs dispositions équivalentes comme tu la dis dans ton post précédent, pour trouver le nombre d'arrangement possible on regarde le nombre total de dispositions si les boules étaient différentes . Mais dans ce nombre total on a compté aussi le cas des dispositions équivalentes car les boules sont identique donc on doit soustraire toutes les dispositions identiques.
Donc jai bien fait 625-70 c'est faux ?

[Lostounet]

Que représente 625-70 pour toi?
Le nombre de disposition identiques de quoi?

Le 625 que tu obtiens est en fait le nombre de façons de mettre sur chaque boule un numéro de tiroir. (5^4)

Tu lui soustrais 70 (le nombre de façons de ranger 4 boules identiques dans 5 tiroirs).

Que représente concrètement cette soustraction?