Nombre à représentation tridimentionnel ?

[CryoFantom]

Bonjour, on s'interrogeais lors de nos révisions sur les nombres complexes avec un copain. Les réels se représentent sur un unique axe graduée, les complexes, eux se représentent sur un plan (partie réel en abscisse et partie imaginaire en ordonnées). Mais alors, dans la continuité, il devrait y avoir des nombres de la forme a=x+iy+jz, avec j un constante définie/à définir et qui se représenterait alors dans l'espace. Tout nous laisse penser que cette constante existerait. Combien en effet de bizarrerie voit-on dans ce monde ? La racine "négative" pour commencer...

Ce topic est ouvert à toute réflexion et apport de réponse sur la question
Enjoy

[anthony_unac]

Bonsoir,

Un gars s'était penché la dessus à l'époque (mais ça date) :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/ImagQuat.htm

[Monsieur23]

Aloha,

En fait, on considère plutôt des nombres hypercomplexes (https://www.wikiwand.com/fr/Nombre_hypercomplexe) en dimension 2^n (donc 1 (les réels), 2 (les complexes), 4 (les quaternions), 8 (les octonions), etc). Le souci, c'est qu'on perd beaucoup de propriétés en montant en dimension.

[Ben314]

Salut,
J'aurais tendance à rajouter que, à mon sens, ce n'est pas tant un "on considère plutôt celle de dimension 2^n", mais que c'est plutôt le théorème de Frobenius généralisé qui nous donne la classification des algèbres unifères à division de dimension finie sur le corps commutatif ℝ des réels.
Et ce théorème dit en particulier que sur R^3, il n'y "pas grand chose de bien intéressant" à construire.
Par contre, pour étudier par exemple les isométries de R^3 (et bien d'autre choses), il est extrêmement utile de regarder les éléments de R^3 comme les "parties imaginaires" des quaternions qui dans leur ensemble, correspondent à R^4 et avec lesquels la notion de produit scalaire ET de produit vectoriel trouve tout son sens.

[Skullkid]

Salut, il est aussi possible définir des "nombres" en 3D (même si c'est un peu tiré par les cheveux d'appeler ça des nombres vu qu'ils ne forment pas une bonne structure) en considérant un module et 2 arguments en coordonnées sphériques. Perso je les ai juste vus utilisés pour construire des analogues de l'ensemble de Mandelbrot en dimension 3, mais qui sait !