Modèles mathématiques en épidémiologie

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Vassillia
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Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 18 Fév 2021, 04:33

Bonjour à tous,
En ces temps de Covid 19, je me suis dit que parler des modèles mathématiques compartimentés utilisés en épidémiologie pour des maladies infectieuses pourrait être intéressant. N’hésitez pas à me suggérer des améliorations (ou corrections) et à rajouter d’autres modèles pour ceux que le sujet intéresse.

Modèle SIR
On considère que la population totale N est constante au cours du temps et on la sépare en 3 catégories à chaque instant t :
- représente la population saine que l’on considère à risque de tomber malade
- représente la population infectée donc malade
- représente la population rétablie qui a guéri et sera définitivement immunisé
- le taux de transmission qui dépend du taux de contact et de la probabilité d’être infecté lors d’un contact entre individu sain et infecté
- le taux de guérison correspond à l’inverse de la durée moyenne avant guérison

Un système d’équation différentielle permet de décrire l’évolution au cours du temps
représente le nombre de personnes nouvellement infectées qui ne sont donc plus saines
représente le nombre de personnes nouvellement rétablies
comme est une constante
On pourrait préciser ce modèle en introduisant le taux de létalité, c’est le taux de mortalité causée par la maladie même si dans ce cas la population n’est plus constante
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On peut calculer le nombre moyen de cas secondaires produits par un individu infectieux au cours de sa période de contagion. Au début de l’épidémie, quand toutes les personnes rencontrées sont saines ou presque, c'est le fameux .



Vassillia
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 18 Fév 2021, 04:35

Modèle SEIR
Pour prendre en compte la période de latence, on rajoute une 4ème catégorie par rapport au modèle SIR :
- représente la population exposée c'est à dire infectée mais pas encore contagieuse
- le taux d’incubation correspond à l’inverse du temps moyen avant d’être contagieux

Un système d’équation différentielle permet de décrire l’évolution au cours du temps




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Alors est-ce que ce modèle est le bon ? Toujours pas, déjà on devrait prendre en compte le taux de natalité et le taux de mortalité pour des causes autres que la maladie.

On pourrait aussi gagner en précision en définissant plus de catégories : individus en quarantaine, asymptomatiques, infectés symptômes moyens, infectés symptômes sévères, patients admis à l’hôpital, patients admis en réanimation… Et cela sans compter que des individus peuvent être immunisés sans avoir eu la maladie ou de pas être immunisés même après l’avoir eu….

Plus important peut-être, le comportement d’une maladie comme le covid dépend de l’âge donc il serait judicieux de faire dépendre toutes nos fonctions de 2 variables : l’age a et le temps t. Mais même comme cela, ce ne serait toujours pas suffisant, il faudrait pour coller encore mieux à la réalité ajouter des données démographiques sur le comportement des populations, l’espace entre les individus…

Malheureusement le modèle parfait n’existe pas et je n’ai pas parlé de la difficulté d’estimer en pratique tous les taux dont on parle. Il y a une simulation sympa faite par le CNRS http://experiences.math.cnrs.fr/simulations/Covid19/

beagle
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par beagle » 18 Fév 2021, 12:32

C'est intéressant,
petite question pourquoi toute la population doit y passer?
les sains disparaissent , les rétablis font la population vers la fin
Il ya des modèles qui stabilisent la fin avec par exemple seulement 30% de population infectée guérie, 70% de population non touchée au moment où la maladie a disparu?

Vassillia
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 18 Fév 2021, 13:35

Bonjour Beagle,
Tu as raison, toute la population n’y passe pas même sans usage de vaccin qui fait passer directement la population saine en population rétablie (puisque immunisée)
Cela dépend des valeurs du . Prenons le cas d'une maladie moins contagieuse et plus mortelle, elle va s'éteindre d'elle-même faute d’infectés bien avant d'avoir contaminée toute la population.
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On peut le voir même sur le modèle SIR en prenant . Pourtant il y a quand même un . En poussant à l’extrême c’est-à-dire avec , la population infectée va décroitre directement donc il n’y aura pas d’épidémie du tout.

beagle
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par beagle » 18 Fév 2021, 14:36

Super,
lors de maladie infectieuse saisonnière grippe, gastro, …
c'est le Ro qui diminue de plus en plus en fin de "saison infectante" ?

Vassillia
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 18 Fév 2021, 15:43

Pas vraiment, en fait le est un invariant de chaque maladie à conditions environnementales égales dans la population alors qu’est-ce qui baisse au cours du temps pour stopper l’épidémie ? Reprenons notre équation différentielle de base
On enlève les nouveaux guéris avec et on ajoute les nouveaux infectés avec . Sauf que il diminue au cours du temps donc un infecté au début de l’épidémie va contaminer beaucoup plus de monde qu’en fin d’épidémie puisque les personnes avec qui il sera en contact en fin d'épidémie seront déjà immunisés pour la plupart.

Je sais que c’est flou dans les médias mais le est calculé en début d’épidémie quand toute la population ou presque est saine. Alors que peut-on faire pour modifier ce rétrospectivement ? Il faut changer les conditions environnementales

On a vu que donc on peut jouer sur :
-la durée moyenne avant guérison : traitement ou actions sur le système de santé...
-la probabilité d’être infecté lors d’un contact entre individu sain et infecté : gestes barrières...
-le taux de contact : confinement, couvre-feu...

Jusque là, je parle de maths uniquement, en pratique, il faut prendre en compte des éléments sociaux comme l'acceptabilité des mesures, l'économie... enfin bref faire de la politique mais c'est une toute autre histoire que je ne connais pas.

beagle
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par beagle » 18 Fév 2021, 15:48

"Pas vraiment, en fait le est un invariant de chaque maladie à conditions environnementales égales "

euh, si maladie infectieuse hivernale, ce sont bien les conditions environnementales qui changent non?

Vassillia
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 18 Fév 2021, 16:21

C’est pourquoi le est donné avec un intervalle car il est difficile à estimer et il peut changer en fonction des conditions environnementales.
Mais ce que je veux dire, c’est qu’il n’est pas nécessaire que le diminue pour qu’une épidémie s’arrête et certaines conditions environnementales peuvent changer sans faire changer le . Il faut vraiment regarder au cas par cas.

Quelques chiffres approximatifs pour se faire une idée :
Rougeole 12-18
Varicelle 10-12
HIV/SIDA 2-5
Grippe saisonnière 0.9-2.1
COVID19 0.4-5.7 (c’est peut-être plus précis maintenant, je n’ai pas suivi)

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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par beagle » 18 Fév 2021, 21:09

Peut-on dire que ces modèles très intéressant ont tout de même contribué à la gestion par la peur de la crise covid19
avec des exponentielles style: "on va tous mourir"?

Vassillia
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 18 Fév 2021, 22:46

Tant mieux si tu les trouves intéressants, ce sont des modèles assez "simple" mais ils sont quand même une première approche.

Dire que la croissance est exponentielle peut être une bonne approximation au début, lorsque la population est globalement saine mais la croissance finira forcément par se calmer. Même dans la pire épidémie possible, genre invasion de zombies où les infectés ne guérissent pas ; ne meurent pas et continuent à contaminer à grand coup de dents, on aura une croissance logistique.
Pourquoi ? Il y a un plafond, le nombre d'humains à contaminer est fini et pas infini ce qui est nécessaire pour avoir une croissance qui continue d'être exponentielle.

Maintenant, le reste, c'est de la communication, je trouve pas toujours simple de gérer une classe, je ne vais pas donner mon avis pour gérer une population, je ne sais pas faire. Par contre, les modèles mathématiques n'y sont pour rien. Ce ne sont des outils d'aide à la prise à la décision, ils sont aussi précis que possible et ce serait dommage de s'en priver mais il faut les interpréter en prenant du recul sur la situation.

Aucune formule ne donnera la réponse à "comment gérer la crise du covid ?" Faut pas rêver et d'ailleurs même si de nombreux chercheurs ont du faire de superbes modèles bien plus pertinents que ce que je présente, je doute qu'ils aient eu un vrai pouvoir décisionnel dans les choix politiques et c'est normal, chacun son métier.

PS : aucun épidémiologiste digne de ce nom n'a jamais dit "on va tous mourir" du covid, ce serait ridicule devant une maladie qui n'a pas un fort taux de létalité, en revanche beaucoup on dit, la population infectée avec symptômes graves va dépasser les capacités de soins des hôpitaux si on ne fait pas baisser le et il me semble que cela s'est produit. On peut décider qu'on s'en fiche et tant pis pour les patients âgés qu'on ne soignera pas mais éthiquement, cela me parait quand même difficile à tenir comme position.

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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par beagle » 19 Fév 2021, 11:06

J'aime beaucoup le "on va tous mourir", c'est une formule bien sur mais qui résume bien l'état de panique qui a été insufflé .
Sur les épidémiologistes , ils ont été comme tout le monde très divergents dans leurs analyses,
et ce n'est pas un reproche.
Il y a eu une vidéo de Raoult qui montrait les courbes de l'évolution de l'épidémie selon les régions, selon les pays,
et le truc "marrant" est qu'il n ' y avait aucune courbe très semblable aux autres. Alors pour les modèles mathématiques cela signifie que les paramètres à rentrer sont assez nombreux ou compliqués.
Et la précision d'un modèle ben c'est pas très précis si tout peut en fait varier, inutile de donner 5 chiffres apres la virgule si les unités sont entre 1 et 50.

Sur le chacun son métier, fais attention tu froles le complotisme là,
tu vas bientôt nous dire laissons les médecins de ville soigner les gens non hospitalisés.
Attention tout de même !

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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 19 Fév 2021, 14:41

Tu as parfaitement compris la problématique, plus les modèles veulent etre précis, plus ils vont dépendre de paramètres. Rien que dans mes exemples, on voit une nette difference entre et . Sur une nouvelle maladie, on n'a pas encore de bonne estimation de ses paramètres à partir d'observation donc on fait des simulations sur plusieurs cas de figures. Que faire sinon ? Rien, en attendant de voir ce qui va se passer et donc on n'anticipe jamais les problèmes, dommage quand même. Faut pas exagérer, personne n'a jamais prétendu prévoir quoi que ce soit avec 5 chiffres derrière la virgule, ce ne serait pas sérieux du tout.

Bien sûr que la courbe de l'évolution de l'épidémie dépendra des régions (l'espace influe sur la manière dont les contacts se font donc il faut en tenir compte dans un modèle réaliste) et des pays (la croissance démographique influe sur la pyramide des âges et l'age est un facteur important de l'evolution de la maladie)...

Petit exercice : si on compare les chiffres de 2 pays qui n'ont pas la même pyramide des âges, qui n'ont pas la même densité de population, est-ce qu'on peut conclure que la différence d'évolution de l'épidémie sera grâce à un certain traitement que certains prennent et pas d'autres ? Ben non car ce n'était tout simplement pas comparable dès le début. Et puis parlons des chiffres obtenus en pratique. La population infectée, on ne la connaît pas, on peut l'estimer en generalisant les tests diagnostiques à grande échelle. Comme tous les pays n'ont pas la même politique de santé, rien que les chiffres ne sont de toute façon pas comparables en l'état.

Je me doute où tu veux m'emmener mais je réponds quand même. Je n'ai aucun problème à ce que les médecins de ville restent parfaitement libres de leur prescription mais en respectant les indications pour lesquels les traitements ont eu une autorisation de mise sur le marché. En revanche, je ne pense pas que ce soit aux médecins de ville de faire des tests sur la population même si leur retour sur expérience peut et doit être pris en compte pour identifier des effets indésirables à long terme.
Modifié en dernier par Vassillia le 19 Fév 2021, 18:03, modifié 2 fois.

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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par beagle » 19 Fév 2021, 15:37

Sur les modèles, aucun modèle n ' a prévu les différents types de courbes des différentes regions différents pays.Donc plus il ya de paramètres plus le modèle est précis,
sauf qu'ici les paramètres à utiliser comme prédominant = inconnus, la valeur des paramètres inconnue etc...
Les modèles épidémiologiques en a psotériori semblent meilleurs qu'en a priori.

Sur la médecine. On ne traite pas en dehors des AMM est assez comique s'agissant d'une nouvelle maladie.
Cela a signifié ne rien faire et laisser les gens à la maison avec du doliprane, on se revoit à l'hôpital!Génial.
Lorsque tu ne sais rien ben tu fais avec ce que tu sais:
-tu fais avec ce que tu connais d'autres maladies respiratoires virales
-tu fais avec ce que tu connais de médicaments anciens dont les doses, les contre-indications , les effets secondaires sont déjà connus
Bref, un médecin qui n'aurait pas ouvert la télé et ses revues de médecine cet hivers il aurait vu des patients agés avec un syndrome grippal et il les aurait traité comme une grippe pour commencer donc un antibiotique. Ce que n'ont meme pas reçu les patients.
Ensuite et plus on connait ce qui se passe plus on est en logique de traiter en anti-inflammatoires, et lesquels à quels moment, ben forcément du tatonnement, mais pas après 15 bras randomisés au bout de 6 mois…

Ce n'est aux labos de dire quels médocs ils ont à vendre qui seraient les médocs à essayer dans des études randomisées. De bonnes vieilles molécules bien connues bien maitrisées,existent et il n'est pas idiot de les recycler

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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 19 Fév 2021, 17:38

Évidemment qu'à posteriori, c'est mieux qu'à priori puisque l'estimation des paramètres est plus pertinente. Tu vas peut-être dire, trop tard et je ne serai pas d'accord.
Déjà parceque l'épidémie n'est pas finie donc on peut continuer à se servir des modèles qui ont été ajustés en permanence avec les observations dans le but d'aider à la prise de décision politique. Ensuite cela permet de développer de meilleurs outils qui resserviront dans des épidémies futures. Le modèle parfait n'existera jamais, beaucoup trop de variabilité dans le vivant, mais on continuera à essayer de s'en approcher et c'est le principe de la science.

C'est curieux, tu reproches aux modèles de faire des prédictions qui manquent de précision tant qu'ils leur manquent des informations par contre tu revendiques le droit de soigner sans information sur la balance bénéfice/risque forcément inconnue sur une nouvelle maladie. Les problématiques sont certes assez comparables mais les conséquences peuvent quand même être assez différentes. Un modèle donnera une simulation pour le pire cas et pour le meilleur cas. Toi tu ne peux pas pour le même patient, faire une version où il survit et une version où il meurt.
Je comprends la frustration de ne pouvoir rien faire en tant que médecin et on peut se demander si on doit abaisser le degré de certitude lors d'une situation de crise (choix politique ni mathématique ni médical).
Mais à part dans des usages compassionnels où de toute façon, le patient va mourir sans traitement, il faut quand même des éléments de preuve pour ne pas mettre en danger un patient qui dans l'immense majorité des cas va guérir tout seul pour le covid. On ne va quand même pas donner un traitement au hasard qui n'a aucun bénéfice et quand même un risque (même très faible) d'effets indésirables. Certes, ce n'est pas tout à fait cela qu'il s'est passé, pour l'hydroxychloroquine, il y avait des tests in vitro concluants mais ce n'est pas révélateur, cela fonctionnait aussi contre le HIV.... Par contre in vivo, c'est une toute autre histoire et les analyses statistiques sérieuses ne démontrent pas de bénéfice. Voici un lien https://sfpt-fr.org/covid19-foire-aux-questions/1094-la-chloroquine-ou-l-hydroxychloroquine-sont-elles-efficaces-pour-prevenir-ou-traiter-l-infection-par-coronavirus qui pourrait t'intéresser.

Si tu veux continuer à parler d'efficacité de traitements, je te suggère d'ouvrir un nouveau fil de discussion. J'y répondrai surement mais je préfère que l'on se limite aux modèles mathématiques normalement moins sujets à polémique sur celui-ci.

beagle
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par beagle » 19 Fév 2021, 18:19

Je ne reproche rien aux modèles, la question est qu'apportent-ils pour aider les prises de décision.
Cela ne m'a pas paru probant mais je connais mal le sujet .

Sur la frustration de médecin, il n' y en a pas je ne suis pas généraliste donc pas en charge de soigner des patients covid19 .
Mais je me suis soigné et j'ai soigné mon frère avec de l'azithromycine , du zinc , vitC mélange antioxydants.
Et le soucis c'est que l'on a observé à chaque fois une amélioration nette en 24 à 48h.
Ce n'est pas scientifique.
Mais si j'étais généraliste comment je vivrais de me soigner moi , de soigner ma famille , mes amis,
avec des produits que je connais bien , dont je maitrise les risques,
en me refusant toute aide à mes patients !!!!
Le médecin qui ne croit qu'au doliprane en phase précoce , ben ok il peut conseiller doliprane à ses patients. C'est cohérent. Et je ne lui en fait pas reproche.

Je rajouterai que le fils de mon frere, vingtaine d'année , covid + en PCR et asymptomatique n'a rien pris.
Donc s'agit-il de donner tout pareil à tout le monde ou bien de moduler , rien pour un jeune sans facteur de risque, et on monte en puissance selon l'age selon les autres facteurs de risques et selon l'évolution.
La question essentielle et que tu verras très peu débattue, est à quel moment , à qui donner une corticothérapie générale en ville, avnt le passage en réa.

Sur la discussion de l'efficacité des médocs j'ai fait quantité de fils de discussion, tu peux répondre
Comment Recovery qui donne 12 cps d'hydroxychloroquine en premier jour dose de charge peut servir de base sous prétexte d'étude randomisée à l'éviction de l'HCQ pour cause d'effets secondaires et augmentation de létalité. C'est une étude avec dose toxique, normal de trouver des effets néfastes. Et c'est pourtant Recovery qui arrète les études discovery Hycovid et autres .C'est Recovery qui sert de base à toutes les méta-analyses qui concluent à une inefficacité de HCQ. Ne me renvoie pas sur des méta-analyses avec du Recovery, c'est une honte, un scandale ...mais randomisé!!!!

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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 19 Fév 2021, 19:30

As tu seulement regardé le lien que j'ai mis ? Recovery est une étude parmi d'autres
Pourquoi augmenter le dosage dans certaines études ? Car un des principes de base de la causalité, c'est la relation dose-effet, si le traitement fonctionne, cela devrait être encore plus visible avec une forte dose. Évidemment, on ne va pas donner une dose trop dangereuse chez les patients mais sur des animaux, cela a été fait sans résultats probants là non plus sur l'efficacité du traitement.
Je le répète mais si le protocole du professeur Raoult n'a aucun effet positif alors la balance bénéfice/risque est forcément mauvaise puisque tout traitement avec substance active peut provoquer des effets secondaires.
Quand à la dexaméthasone de la famille des corticosteroïdes, son usage est validé et administré dans les cas où il a fait preuve de son efficacité à savoir les cas graves.
Fin du hors sujet pour moi, si tu veux faire remonter un fil, je regarderai.

beagle
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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par beagle » 19 Fév 2021, 19:44

Recovery est l'étude qui arrète les études discovery hycovid et celles de Montpellier
discovery et hycovid = sur résultats pas d'aggravation pas d'augmentation mortalité, au contraire diminution de la mortalité, mais non significative car manque de patients pour le montrer, manque de patients sur une étude arrétée!!!!!!!
c'est pas rien
et dans les méta-analyses elle a un sacré poids:
parce que grand nombre de patients cela pèse
parce que elle montre une augmentation de létalité.

Ben, si tu penses qu'augmenter le nombre de morts en utilisant des doses toxiques est un épiphénomène.
Demande autour de toi quel médecin accepterait de prendre 12 cps d'hydroxychloroquine en une journée, demande autour de toi s'ils donneraient 12 cps à leur vieille mère ou vieux père.
Perso moi en pleine forme meme rémunéré je ne prends pas les 12 cps en une journée.

Ensuite l'immense majorité des études randomisées sont des études en hospitalisation, ce qui ne peut pas servir de base à interdire une prescription en phase précoce … et tout est à l'avenant …

s'agissant d'autres études sur HCQ:
https://c19study.com/
on voit bien que certaines meta-analyses font l'impasse sur de nombreuses études
et on voit la différence entre phase precoce et non précoce ...

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Re: Modèles mathématiques en épidémiologie

par Vassillia » 19 Fév 2021, 21:42

Juste pour corriger, ce site n'est absolument pas fiable car toutes les publications ne se valent pas, on ne peut pas les comparer en les mettant au même niveau.
Si c'est du genre "le patient n'est pas en très bonne santé, si je lui donne mon traitement, cela pourrait être dangereux pour son coeur, mettons le donc dans le groupe sans traitement" Mouais, définitivement pas convaincue et je t'assure que je ne caricature même pas. En plus, il y a même du in vitro dans les études listées et je te l'ai dis, in vitro et in vivo c'est pas pareil.
Une méta analyse c'est : dépôt d'un protocole, recherche systématique, critère d'inclusion-exclusion, évaluation des biais et seulement après calcul d'un effet moyen. Et surtout cela se publie dans un journal serieux pour relecture par les pairs, en voilà une https://www.clinicalmicrobiologyandinfection.com/action/showPdf?pii=S1198-743X%2820%2930505-X

 

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