Fonction intéressante et/ou simplifiable?

[MAC52]

Bonjour à tous,
il n'y a pas longtemps je me suis posé la question de savoir si on pouvait trouver une fonction dont la courbe représentative décrit des demi-cercles de rayon 1 et de centre les points de coordonnée (2n;0) et n entier relatif.
Je suis parti de l'équation (x-2n)^2+y^2=1, j'ai exprimé y en fonction de x.
La difficulté était de trouver 2n tel que pour tout x € [2k-1;2k+1[ (k€Z), 2n soit égal 2k.
J'en ai déduit (sans le démontrer; d'ailleurs est-ce démontrable?) que où E est la fonction partie entière.
J'ai donc trouvé, en grande partie grâce à la calculatrice la fonction définie par:

Cette fonction est définie sur R, la plupart des calculs ont été faits à la calculatrice, il y a donc beaucoup à démontrer. La calculatrice m'a aussi donné une expression de la dérivée, mais comment dériver la fonction partie entière?
En bref:
Pensez-vous que son étude serait intéressante?
Pensez-vous que l'expression de cette fonction est simplifiable?

MAC

[Imod]

La fonction existe c'est sûr ( on la voit très bien ) je doute qu'elle soit dérivable aux valeurs entières impaires .

Imod

[Imod]

De plus ta fonction est 2 ou 4 périodique selon l'orientation que tu donnes à tes demi-cercles et la définition formelle de celle-ci n'a pas beaucoup d'intérêt , sauf si tu as une idée en tête .

Imod

[JJa]

Bonjour MAC52,

La question que tu poses est résolue d'une façon très générale par les séries de Fourier.
Lorsqu'une fonction est la répétition périodique d'un fonction de base donnée sur un segment, son équation est obtenue par la série de Fourier calculée sur ce segment.
Dans le cas présent, le segment est [-1 , +1] sur lequel la fonction de base donnée est racine(1-x²)
L'équation de la fonction périodique pour x variant de -infini à +infini est la série de Fourier :
f(x) = a0 + a1*cos(pi*x) + a2*cos(2*pi*x) + ... + an*cos(n*pi*x) +...
avec les valeurs numériques suivantes des coefficients :
a0 = pi/4
a1 = J1(pi)
a2 = (1/2)*J1(2*pi)
a3 = (1/3)*J1(3*pi)
...
an = (1/n)*J1(n*pi)
...
J1 étant la fonction de Bessel d'ordre 1.
La série est convergente car alternée avec un facteur (1/n). Et même plus rapidement convergente que ((-1)^n)/n car, lorsque n est grand, J1(n*pi) est équivalent à -((-1)^n)*(1/pi)*(1/racine(n)). La valeur absolue du coefficient an décroit donc comme 1/(n^(3/2)) .
Les fonctions de Bessel sont implémentées dans la plupart des logiciels de calcul numérique, ce qui permet de calculer et représenter graphiquement cette série de Fourier : on constate que l'on obtient bien une courbe continue constituée par la succession périodique des demi-cercles.
Si vous voulez voir cette courbe tracée point par point avec la formule indiquée :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?2,478863