Equation du type a^b=b.m

[anthony_unac]

Bonsoir,
Une petite recherche personnelle m'a conduit vers deux équations que je peine à résoudre :
1/ avec un entier naturel, une entier naturel, un entier naturel impair et
Comment résoudre cette 1ere équation en fonction de et :
Pour ma part je trouve une solution évidente et une solution plus raffinée à tâton :
et
N'hésitez pas à me contredire si je me perds

[bolza]

Bonjour,

b divise a^b <=> b divise a...
donc en particulier, l'exemple que tu as donné est bon

EDIT j'ai peut être été un peu vite : b divise a => b divise a^b, la réciproque peut être pas..
par exemple si b=15² et a=15 alors a^b = 15^225 = b*15^223...

[anthony_unac]

Si je comprends bien votre réponse, une solution du type et aurait été tout aussi satisfaisante tout comme (de façon générale) et

[bolza]

oui, en fait de manière générale, tous les facteurs premiers de b doivent être des facteur premiers de a.
ce qui est évidemment le cas si b divise a.

[anthony_unac]

Merci pour cette précision, voici à présent la 2eme équation (encore plus pourrie) :
avec , , entiers naturels
On cherche tous les couples vérifiant cette égalité.

[bolza]

oui alors là ça me semble effectivement plus délicat ^^'
en gros on cherche a et b tel que a^b soit congru à 2 modulo b
déjà pour a fixé, trouvé un k tel que a^k =2 (mod b) est un problème assez difficile en soi
(car c'est un calcul de logarithme discret)

mais on peut peut-être trouver quelque chose en exploitant le petit théorème de Fermat :
si b est premier, et si a est premier avec b, alors a^b=a (mod b)
donc si de plus a=2 (mod b) c'est gagné, par exemple :

b=5, a=7
alors 7^5=16807=2(mod 5)
en particulier : 7^5 = 5*3361 +2 et donc 7^5-1 = 5*3361+1.

donc les couples de la forme (b,a) avec b=p (p un nombre premier impair) et a=kp+2 sont des solutions,
mais le cas général reste compliqué je pense ^^'

[anthony_unac]

Merci pour toutes ces infos