Congruence

[fma]

Bonsoir,
J'ai remarqué que les entiers

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%28%281%2B%28%284%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%2F2%29%5En%29-%28%28%281-%28%284%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%2F2%29%5En%29%29%2F%28%284%2B1%29%5E1%2F2%29



sont congrus modulo 9, respectivement à

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%28%281%2B%28%2840%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%2F2%29%5En%29-%28%28%281-%28%2840%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%2F2%29%5En%29%29%2F%28%2840%2B1%29%5E1%2F2%29



Généralisation avec m et n entier, pour les entiers :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%281%2B%28%284m%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5En%29-%28%281-%28%284m%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5En%29%29%2F%28%282%5En%29%28%284m%2B1%29%5E1%2F2%29%29

Exemple avec m=6 et n=7, ça marche :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%281%2B%28%284*6%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E7%29-%28%281-%28%284*6%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E7%29%29%2F%28%282%5E7%29%28%284*6%2B1%29%5E1%2F2%29%29

Pour m=8 et n=5, ça ne marche pas.

Pour vérifier
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html#series
http://www.dcode.fr/somme-chiffres-nombres

Je ne vois pas comment le démontrer. Une âme charitable aurait-elle une piste ?
Merci d'avance

[chan79]

salut
la première suite est celle de fibonacci qui vérifie u(n+2)=u(n+1)+u(n) en commençant par 1 et 1
la seconde vérifie v(n+2)=v(n+1)+10v(n) en commençant par 1 et 1
v(n+2)-u(n+2)=v(n+1)-u(n+1)+10v(n)-u(n)=v(n+1)-u(n+1)+9v(n)+v(n)-u(n)
la démonstration est alors facile par récurrence
De la même façon, si on remplace 41 par 77, ça marche aussi (77=1+4*19)

[fma]

Tchan



T'es vraiment doué.
C'est vrai, pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple et tu as parfaitement compris la question, loin d'être évidente devant ces relations absconses.
Pour généraliser,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28x-1%29%3Dm
F(n)/F(n-1) tend vers la solution positive de x(x-1)=m quand n tend vers l'infini ;
cependant la suite
w(n+2)=w(n+1)+m*w(n)
n'a pas de congruence avec la suite de fibonacci (rectif : pour tout m entier)
Rectif + rectif:
Il semble que m doive être un multiple de 10

Tu m'ôtes une épine du pied ! Merci encore

[chan79]

Il semble que m doive être un multiple de 10

m doit être congru à 1 modulo 9, je crois (m=10, m=19, ...)

[fma]

m doit être congru à 1 modulo 9, je crois (m=10, m=19, ...)

Je viens de lire ce message.
Encore un tour de magie !
Je pensais que ta démonstration imposait en fait des multiples de 10^n (c'est ce que je voulais dire dans le message précédent et non pas de multiples de 10)
Mais 19 marche :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%281%2B%28%284*19%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E3%29-%28%281-%28%284*19%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E3%29%29%2F%28%282%5E3%29%28%284*19%2B1%29%5E1%2F2%29%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%281%2B%28%284*19%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E4%29-%28%281-%28%284*19%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E4%29%29%2F%28%282%5E4%29%28%284*19%2B1%29%5E1%2F2%29%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%281%2B%28%284*19%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E5%29-%28%281-%28%284*19%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E5%29%29%2F%28%282%5E5%29%28%284*19%2B1%29%5E1%2F2%29%29
rectif:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%281%2B%28%284*19%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E6%29-%28%281-%28%284*19%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5E6%29%29%2F%28%282%5E6%29%28%284*19%2B1%29%5E1%2F2%29%29

Peut-on démontrer la généralisation de cette congruence ?

rectif=suppression

[fma]

Suite dont la limite f(n+1)/f(n) est la solution positive de x(x-1)=m ,
à partir de n=3

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%281%2B%28%284m%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5En%29-%28%281-%28%284m%2B1%29%5E%281%2F2%29%29%29%5En%29%29%2F%28%282%5En%29%28%284m%2B1%29%5E1%2F2%29%29

pour m=1 :....... 2.....3.......5.........8........13....Fibonacci
pour m=10 :....11....21....131.....341.....1651
pour m=16 :....17....33....305.....833.....5713
pour m=19 : ...20....39....419....1160....9121

Différence des f(n) en exemple
delta m=10-1 :..........9......18...126.....333.....1638...... modulo 9
delta m=16-10 :........6......12...174.....492.....4062...... modulo 6
delta m=19-16 :........3.......6....114.....327.....3408...... modulo 3
delta m=19-10 : .......9......18...288.....819.....7470...... modulo 9

La congruence des suites, définies plus haut, semble être définie par le modulo=delta des m
Donc, toutes les suites seraient congrues à la suite de Fibonacci, modulo (m-1)

[chan79]

Donc, toutes les suites seraient congrues à la suite de Fibonacci, modulo (m-1)

c'est bien ça :zen:

[fma]

c'est bien ça :zen:

merci Chan