Comment définir une équation à partir d'une liste de points ?

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
jlefevre78
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Comment définir une équation à partir d'une liste de points ?

par jlefevre78 » 27 Oct 2009, 12:53

Bonjour
Voilà longtemps que j'ai oublié mes bases de Term C... (voire avant) :hum:
Je cherche à déterminer une équation, à partir d'une liste de points.
Les valeurs "empiriques" de base sont les suivantes:
1 50
10 34,30
20 28,40
30 25,60
40 23,58
50 21,86
60 20,30
70 18,83
80 17,41
90 16,03
100 14,68
110 13,57
120 12,65
130 11,87
140 11,20
150 10,62
160 10,11
170 9,66
180 9,27
... pour tendre vers 4 à l'infini

Bon, en tâtonnant, j'imagine quelque chose comme f(x)=a*log(x)/x+b, mais je suis sûr que quelqu'un va me dire, "mais non, le plus simple c'est...)

D'autre part existe-t-il un outil permettant de modifier avec la souris la position, la courbure etc... d'une courbe pour en obtenir l'équation à la volée ?

Merci pour vos éclairages.

jlefevre78



Sve@r
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par Sve@r » 27 Oct 2009, 23:12

jlefevre78 a écrit:Bonjour
Voilà longtemps que j'ai oublié mes bases de Term C... (voire avant) :hum:
Je cherche à déterminer une équation, à partir d'une liste de points.
Les valeurs "empiriques" de base sont les suivantes:
1 50
10 34,30
20 28,40
30 25,60
40 23,58
50 21,86
60 20,30
70 18,83
80 17,41
90 16,03
100 14,68
110 13,57
120 12,65
130 11,87
140 11,20
150 10,62
160 10,11
170 9,66
180 9,27
... pour tendre vers 4 à l'infini

Bon, en tâtonnant, j'imagine quelque chose comme f(x)=a*log(x)/x+b, mais je suis sûr que quelqu'un va me dire, "mais non, le plus simple c'est...)

D'autre part existe-t-il un outil permettant de modifier avec la souris la position, la courbure etc... d'une courbe pour en obtenir l'équation à la volée ?

Merci pour vos éclairages.

jlefevre78


Bonjour
D'une façon générale, 2 points sont reliés par une droite équation y = ax + b
3 points sont reliés par une parabole équation y = ax² + bx + c
4 points sont reliés par une courbe en x3
5 points => courbe en x4
etc etc
500 points => une courbe en

Pour trouver chacun des 500 coefficients, il faut poser les 500 équations et remonter les coefficients petit à petit par la méthode des Pivots de Gauss.

Mais bon, pour ton ensemble de nombres allant à l'infini tout en tendant vers une limite, il vaut mieux se concentrer sur la limite elle-même...

jlefevre78
Messages: 2
Enregistré le: 27 Oct 2009, 12:41

par jlefevre78 » 28 Oct 2009, 09:41

Merci
Je dois repréciser ma question.
L'objectif est de d'utiliser l'équation pour une application pratique. Les points peuvent donc varier. L'idée est bien de trouver une "formule" qui permette de donner une liste de points plus régulière se rapprochant de la liste initiale.
Merci pour votre aide.
jlefevre78

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 28 Oct 2009, 12:54

jlefevre78 a écrit:Merci
Je dois repréciser ma question.
L'objectif est de d'utiliser l'équation pour une application pratique. Les points peuvent donc varier. L'idée est bien de trouver une "formule" qui permette de donner une liste de points plus régulière se rapprochant de la liste initiale.
Merci pour votre aide.
jlefevre78

Bonjour,
Cas classique de physique expérimentale! Tu peux utiliser une méthode de regression linéaire (la méthode des moindres carrés) ou toute autre méthode de regression (log, exponentielle, etc).
Ta calculatrice, si elle est un peu évoluée, te permettra sans doute de faire une régression linéaire, log ou exponentielle....

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
Enregistré le: 08 Avr 2009, 18:39

par benekire2 » 28 Oct 2009, 13:57

Sinon simple question: est-ce que ce sera toujours possible de déterminer l'équation d'une courbe, juste avec ses points ? Du genre si j'ai
A(1;2)
B(-4;2)
C(6;5)
D(3;-5)
E(8;-3)
F(12;-1)

Comment puis-je faire pour trouver l'équation de cette courbe? Merci!!

Dominique Lefebvre
Membre Légendaire
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par Dominique Lefebvre » 28 Oct 2009, 14:33

benekire2 a écrit:Sinon simple question: est-ce que ce sera toujours possible de déterminer l'équation d'une courbe, juste avec ses points ? Du genre si j'ai
A(1;2)
B(-4;2)
C(6;5)
D(3;-5)
E(8;-3)
F(12;-1)

Comment puis-je faire pour trouver l'équation de cette courbe? Merci!!

c'est l'objet même de la régresion linéaire (ou méthode des moindres carrés). Cette méthode te permet de calculer l'équation de la droite (les coeff a et b dans y=ax+b) qui passe le plus près possible de chacun des points d'une liste de points (xi,yi). N'importe quelle calculatrice stat possède cette fonction.

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
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par benekire2 » 28 Oct 2009, 14:52

ok :) merci bien

skysurf3000
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Messages: 17
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par skysurf3000 » 02 Nov 2009, 19:39

l'outil de base pour approximer une fonction par des polynômes a partir de points c'est l'approximation de Lagrange qui dit que:
pour tout x1,x2,...,xn n réels distincts et y1,y2,...yn n réels, il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal a n+1 tel que:
pour tout i de [|1,n|], P(xi)=P(yi)
il y a même une formule explicite, je vous laisse chercher sur google (flemme pour le latex lol)
Cependant cette technique ne fonctionne que pour un nombre fini de points.
Avec un nombre infini, le mieux est de prendre quelques uns et de vérifier si le polynôme trouvé approxime suffisamment bien le reste.
Ici, si tes y ont une limite ça va pas trop être possible... Je sais pas si il y a une technique miracle, en tout cas pour le faire à la main. Et si c'est vraiment du log(x)/x je doute qu'il y ait beaucoup de logiciels qui permettent de trouver des équations de ce type...
En espérant t'avoir aidé =)

benekire2
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par benekire2 » 02 Nov 2009, 21:31

Donc en fait c'est plutôt long que dur a faire ce genre de choses?

abcd22
Membre Complexe
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par abcd22 » 02 Nov 2009, 21:40

Bonsoir,
benekire2 a écrit:Du genre si j'ai
A(1;2)
B(-4;2)
C(6;5)
D(3;-5)
E(8;-3)
F(12;-1)

Comment puis-je faire pour trouver l'équation de cette courbe?

Tu n'as pas défini de courbe mais seulement un ensemble de points, donc tu ne peux pas parler de « cette courbe » et encore moins trouver son équation. On peut chercher l'équation de courbes particulières qui passent par ces points ou pas trop loin en ajoutant des conditions supplémentaires (courbe représentative d'une fonction polynomiale de tel degré (avec le cas particulier de la droite)...).

abcd22
Membre Complexe
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par abcd22 » 02 Nov 2009, 21:45

jlefevre78 a écrit:Bon, en tâtonnant, j'imagine quelque chose comme f(x)=a*log(x)/x+b, mais je suis sûr que quelqu'un va me dire, "mais non, le plus simple c'est...)

Si tu penses que c'est ça je pense qu'il faut mettre log(x)/x au lieu de x en abscisse avant de faire une régression linéaire.

abcd22
Membre Complexe
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par abcd22 » 02 Nov 2009, 21:47

abcd22 a écrit:Si tu penses que c'est ça je pense qu'il faut mettre log(x)/x au lieu de x en abscisse avant de faire une régression linéaire.

... et ça ne doit pas être ça car si f(x) = a log(x)/x + b, on a f(1) = b = limite en + infini, et ce n'est pas le cas ici.

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4678
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par benekire2 » 02 Nov 2009, 22:20

Ouais en fait je m'entends, je cherche simplement une des courbes qui passe par tout ces points..

dudumath
Membre Relatif
Messages: 417
Enregistré le: 18 Nov 2007, 13:04

par dudumath » 04 Nov 2009, 15:48

Tu peux faire une interpolation de Lagrange, ou de Newton qui va te donner une courbe correcte pour tes points, en plus c'est interessant de bosser sur ces pôlynomes, ils sont vraiment sympas :D

benoit16
Membre Relatif
Messages: 128
Enregistré le: 14 Déc 2009, 21:07

par benoit16 » 14 Déc 2009, 22:37

Je me souviens dans un lointain passé d'une méthode , je pense que c'est Lagrange . Mais je ne sais plus comment on fait . Je vais faire des recherche.

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Ben314
Le Ben
Messages: 20659
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 15 Déc 2009, 01:56

Benekire,
si tu cherche une fonction qui passe par les points (avec évidement les distincts), c'est assez simple :
Prend . Que vaut ? ? ? ... ?
Peut tu me fabriquer sur le même modèle une fonction telle que ?
A t'on avis qu'est ce que j'aimerais que tu fabrique comme fonction ? ? ... ?
Que pense tu alors de la fonction (quelle est sa valeur en ? en ? ... en ? )
Dernière question : que se passe t'il si à la fonction on ajoute où g est une fonction absoluement quelconque (quelle sont les nouvelles valeurs en ? en ? ... en ? )

Que déduit tu de tout cela ?

P.S. Si tu trouve "qu'il y a trop de lettres", tu est assez grand pour remplacer mes et par les valeurs de ton exemple (avec n=6)

P.S.2 : Il faut aussi faire attention que TRES SOUVENT, ce que l'on cherche, ce n'est pas une fonction qui passe EXACTEMENT par les points mais une fonction LA PLUS SIMPLE POSSIBLE (par exemple affine) qui ne passe... pas trop loin des points (c'est le cas dans ce post...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

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